在概率論和統計學中,幾何分佈(英語:Geometric distribution)指的是以下兩種離散型機率分布中的一種:
- 在伯努利試驗中,得到一次成功所需要的試驗次數
。
的值域是{ 1, 2, 3, ... }
幾何分佈
概率質量函數
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累積分佈函數
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參數
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成功概率(實)
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成功概率(實)
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支撐集
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概率質量函數 (pmf)
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累積分佈函數 (cdf)
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期望值
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中位數
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(如果 是整數,則中位數不唯一)
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(如果 是整數,則中位數不唯一)
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眾數
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方差
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偏度
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超值峰度
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熵
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矩生成函數 (mgf)
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, for
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特徵函數
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- 在得到第一次成功之前所經歷的失敗次數
。Y的值域是{ 0, 1, 2, 3, ... }
實際使用中指的是哪一個取決於慣例和使用方便。
這兩種分佈不應該混淆。前一種形式(
的分佈)經常被稱作shifted geometric distribution;但是,為了避免歧義,最好明確地說明取值範圍。
如果每次試驗的成功概率是
,那麼
次試驗中,第
次才得到成功的概率是,
![{\displaystyle \Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}\,p\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5526852032ac99a1ecfaa85c89cc58ce2d2daf71)
其中
.
上式描述的是取得一次成功所需要的試驗次數。而另一種形式,也就是第一次成功之前所失敗的次數,可以寫為,
![{\displaystyle \Pr(Y=k)=(1-p)^{k}\,p\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f433fb41a422857b6dd796a5b21ad1a3afa5a88b)
其中
兩種情況產生的序列都是幾何數列。這是幾何分佈的名字來源。
比如,假設不停地擲骰子,直到得到1。投擲次數是隨機分佈的,取值範圍是無窮集合{ 1, 2, 3, ... },並且是一個
的幾何分佈。
呈幾何分佈的隨機變量X的期望值是1/p,方差是 (1-p)/p2:
-
幾何分佈具有非記憶性的性質(Memoryless Property,又稱遺失記憶性)
這表示如果一個隨機變量呈幾何分佈,它的條件概率遵循:
- s, t ∈ℕ.
在重複多次的伯努利試驗中,試驗進行到某種結果出現第一次為止,此時的試驗總次數服從幾何分佈,如:射擊,首次擊中目標時的次數。