均差(Divided differences)是遞歸除法過程。在數值分析中,可用於計算牛頓多項式形式的多項式插值的系數。在微積分中,均差與導數一起合稱差商,是對函數在一個區間內的平均變化率的測量[1][2][3]

均差也是一種算法查爾斯·巴貝奇差分機,是他在1822年發表的論文中提出的一種早期的機械計算機,在歷史上意圖用來計算對數表和三角函數表, 它設計在其運算中使用這個算法[4]

定義

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給定n+1個數據點

 

定義前向均差為:

 

定義後向均差為:

 

表示法

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假定數據點給出為函數 ƒ,

 

其均差可以寫為:

 

對函數 ƒ 在節點 x0, ..., xn 上的均差還有其他表示法,如:

 

例子

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給定ν=0:

 

為了使涉及的遞歸過程更加清楚,以列表形式展示均差的計算過程[5]

 

展開形式

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數學歸納法可證明[6]

 

此公式體現了均差的對稱性質。[7]故可推知:任意調換數據點次序,其值不變。[8]

性質

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  • 對稱性:若 是一個排列
 
 
 
 

等價定義

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通過對換 n 階均差中(x0,y0)與(xn-1,yn-1),可得到等價定義:

 

這個定義有着不同的計算次序:

 

以列表形式展示這個定義下均差的計算過程[9]

 

牛頓插值法

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自然哲學的數學原理》的第三編「宇宙體系」的引理五的圖例。這裏在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N,對應着6個值A,B,C,D,E,F,生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值,計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式,得名於伊薩克·牛頓爵士,最早發表為他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編「宇宙體系」的引理五,此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。

使用均差的牛頓插值法[10]

 

可以在計算過程中任意增添節點如點(xn+1,yn+1),只需計算新增的n+1階均差及其插值基函數,而無拉格朗日插值法需重算全部插值基函數之虞。

對均差採用展開形式[11]

 

以2階均差牛頓插值為例:

 

前向差分

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當數據點呈等距分佈的時候,這個特殊情況叫做「前向差分」。它們比計算一般的均差要容易。

定義

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給定n+1個數據點

 

有着

 

定義前向差分為:

 

前向差分所對應的均差為[12]

 

例子

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展開形式

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差分的展開形式是均差展開形式的特殊情況[13]

 

這裏的表達式

 

二項式系數,其中的(n)k是「下降階乘冪」,空積(n)0被定義為1。

插值公式

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其對應的牛頓插值公式為:

 

無窮級數

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牛頓在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了ln(1+x)的無窮級數,在1666年得出了arcsin(x)和arctan(x)的無窮級數,在1669年的《分析學》中發表了sin(x)、cos(x)、arcsin(x)和ex的無窮級數;萊布尼茨在1673年大概也得出了sin(x)、cos(x)和arctan(x)的無窮級數。布魯克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》[14]中研討了「有限差分」方法,其中論述了他在1712年得出的泰勒定理,這個成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和萊布尼茨在1673年已經得出,而約翰·伯努利在1694年已經在《教師學報》發表。

他對牛頓的均差的步長取趨於0的極限,得出:

 

冪函數的均差

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使用普通函數記號表示冪運算, ,有:

 

此中n+1元m次齊次多項式的記法同於多項式定理

泰勒形式

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泰勒級數和任何其他的函數級數,在原理上都可以用來逼近均差。將泰勒級數表示為:

 

均差的泰勒級數為:

 

 項消失了,因為均差的階高於多項式的階。可以得出均差的泰勒級數本質上開始於:

 

依據均差中值定理英語Mean value theorem (divided differences),這也是均差的最簡單逼近。

皮亞諾形式

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均差還可以表達為

 

這裏的Bn-1是數據點x0,...,xn的n-1次B樣條,而f(n)是函數f的n階導數。這叫做均差的皮亞諾形式,而Bn-1是均差的皮亞諾核。

註釋與引用

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  1. ^ Frank C. Wilson; Scott Adamson. Applied Calculus. Cengage Learning. 2008: 177. ISBN 0-618-61104-5. 
  2. ^ Tamara Lefcourt Ruby; James Sellers; Lisa Korf; Jeremy Van Horn; Mike Munn. Kaplan AP Calculus AB & BC 2015. Kaplan Publishing. 2014: 237. ISBN 978-1-61865-686-5. 
  3. ^ Thomas Hungerford; Douglas Shaw. Contemporary Precalculus: A Graphing Approach. Cengage Learning. 2008: 211–212. ISBN 0-495-10833-2. 
  4. ^ Isaacson, Walter. The Innovators. Simon & Schuster. 2014: 20. ISBN 978-1-4767-0869-0. 
  5. ^
     
  6. ^
     
  7. ^ 《數值分析及科學計算》 薛毅(編) 第六章 第2節 Newton插值. P200.
  8. ^ 《數值分析及科學計算》 薛毅(編) 第六章 第2節 Newton插值. P201.
  9. ^
     
  10. ^ The Newton Polynomial Interpolation. [2019-04-19]. (原始內容存檔於2019-04-19). 
  11. ^
     
  12. ^ Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas. Numerical Analysis 9th. 2011: 129. 
  13. ^
     
  14. ^ Methodus Incrementorum Directa et Inversa頁面存檔備份,存於互聯網檔案館

參考書目

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參見

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