均勻多面體對偶

均勻多面體對偶或稱均勻對偶對偶均勻多面體(Dual uniform polyhedron)是均勻多面體對偶多面體[1] 均勻多面體是一種點可遞的立體,由於對偶的特性,因此均勻多面體對偶皆為面可遞的立體。[2]均勻多面體對偶可以利用多曼·盧克構造均勻多面體構造。[3]

均勻多面體對偶
部分的均勻多面體對偶
菱形十二面體
菱形十二面體
卡塔蘭立體
大菱形三十面體
大菱形三十面體
五方偏方面體
五方偏方面體
偏方面體
正八面體 (柏拉圖立體) 雙四角錐
正八面體
柏拉圖立體
雙四角錐
雙錐體

種類

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均勻多面體對偶是均勻多面體的對偶多面體,因此每一個均勻多面體都有一個對應的均勻多面體對偶。[1]

溫尼爾英語Magnus J. Wenninger在其著作《對偶模型》(Dual Models)描述了所有的均勻多面體對偶以及建構其模型的說明。

多曼·盧克構造

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均勻多面體的對偶多面體可以使用多曼·盧克構造(Dorman Luke construction)來構造。其構造的方法為:對偶多面體的每個面透過使用多曼·盧克構造的方法從原始多面體對應的頂點圖導出。[9][10]

舉例來說,截半立方體對偶多面體菱形十二面體[11]。要從截半立方體構造其對偶多面體時,其頂點圖(在下圖以紅色顯示)可以用來導出對偶多面體菱形十二面體的對應面(在下圖以藍色顯示)。

 

多曼·盧克構造的具體步驟如下:

  1. 在任一頂角周圍上選擇點ABCD,並令這四個點與頂角的頂點V滿足VA = VB = VC = VD。(此例使用中點)
  2. 繪製其頂點圖ABCD
  3. 繪製ABCD外接圓
  4. 分別作過ABCDABCD的外接圓相切切線
  5. 將切線兩兩相交的交點標記為EFGH

線段EFFGGHHE已繪製為切線的一部分。多邊形EFGH即為原始頂點V對應在對偶多面體上的面。

此例選擇的頂點圖的大小恰好讓其外接圓位於截半立方體中分球上,而截半立方體中分球同時也成為以此構造方式構造出的菱形十二面體之中分球。多曼·盧克構造只有在存在中分球的多面體上才能使用。[12]例如,均勻多面體一般都存在中分球,因此可以應用於均勻多面體對偶的構造上。

列表

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名稱 圖像 種類 面數 邊數 頂點數 對稱性 對偶多面體
正四面體   柏拉圖立體 4 6 4 Td, A3, [3,3], (*332)  
正四面體
(自身對偶)
立方體   柏拉圖立體 6 12 8 Oh, B3, [4,3], (*432)  
正八面體
正八面體   柏拉圖立體 8 12 6 Oh, BC3, [4,3], (*432)  
立方體
正十二面體   柏拉圖立體 12 30 20 Ih, H3, [5,3], (*532)  
正二十面體
正二十面體   柏拉圖立體 20 30 12 Ih, H3, [5,3], (*532)  
正十二面體
小星形十二面體   開普勒-龐索立體 12 30 12 Ih英語Icosahedral symmetry, H3, [5,3], (*532)  
大十二面體
大十二面體   開普勒-龐索立體 12 30 12 Ih英語Icosahedral symmetry, H3, [5,3], (*532)  
小星形十二面體
大星形十二面體   開普勒-龐索立體 12 30 20 Ih英語Icosahedral symmetry, H3, [5,3], (*532)  
大二十面體
大二十面體   開普勒-龐索立體 20 30 12 Ih英語Icosahedral symmetry, H3, [5,3], (*532)  
大星形十二面體
三角化四面體   卡塔蘭立體 12 18 8 Td, A3, [3,3], *332  
截角四面體
菱形十二面體   卡塔蘭立體 12 24 14 Oh, B3, [4,3], (*432)  
截半立方體
三角化八面體   卡塔蘭立體 24 36 14 Oh, B3, [4,3], (*432)  
截角立方體
四角化立方體   卡塔蘭立體 24 36 14 Oh, B3, [4,3], (*432)  
截角八面體
鳶形二十四面體   卡塔蘭立體 24 48 26 Oh, BC3, [4,3], (*432)  
小斜方截半立方體
四角化菱形十二面體   卡塔蘭立體 48 72 26 Oh, B3, [4,3], (*432)  
大斜方截半立方體
五角二十四面體   卡塔蘭立體 24 60 38 Oh, ½BC3, [4,3], (*432)  
扭棱立方體
菱形三十面體   卡塔蘭立體 30 60 32 Ih, H3, [5,3], (*532)  
截半二十面體
三角化二十面體   卡塔蘭立體 60 90 32 Ih, H3, [5,3], (*532)  
截角十二面體
五角化十二面體   卡塔蘭立體 60 90 32 Ih, H3, [5,3], (*532)  
截角二十面體
鳶形六十面體   卡塔蘭立體 60 120 62 Ih, H3, [5,3], (*532)  
小斜方截半二十面體
四角化菱形三十面體   卡塔蘭立體 120 180 62 Ih, H3, [5,3], (*532)  
大斜方截半二十面體
五角六十面體   卡塔蘭立體 60 150 92 Ih, H3, [5,3], (*532)  
扭棱十二面體
四面半無窮星形六面體   無窮星形多面體 6 12 7 Td, [3,3], (*332)  
四面半六面體
立方半無窮星形八面體   無窮星形多面體 12 24 10 Oh, [4,3], (*432)  
立方半八面體
立方半無窮星形八面體   無窮星形多面體 12 24 12 Oh, [4,3], (*432)  
八面半八面體
反平行四邊形二十四面體   星形多面體 24 48 18 Oh, [4,3], (*432)  
大斜方立方體
大六角二十四面體   星形多面體 24 48 20 Oh, [4,3], (*432)  
大立方截半立方體
大鳶形二十四面體   星形多面體 24 48 26 Oh, [4,3], (*432)  
非凸大斜方截半立方體
小反平行四邊形二十四面體   星形多面體 24 48 18 Oh, [4,3], (*432)  
小斜方立方體
小六角星化二十四面體英語Small hexacronic icositetrahedron   星形多面體 24 48 20 Oh, [4,3], (*432)  
小立方立方八面體
大三角化八面體   星形多面體 24 36 14 Oh, [4,3], (*432)  
星形截角立方體
大六角化八面體英語Great disdyakis dodecahedron   星形多面體 48 72 26 Oh, [4,3], (*432)  
星形截角截半立方體
四重二方六面體維基數據所列Q18048480   星形多面體 48 72 20 Oh, [4,3], (*432)  
立方截角立方八面體
小星形五角化十二面體   星形多面體 60 90 24 Ih, [5,3], (*532)  
截角大十二面體
大十二角星化六十面體英語Great dodecacronic hexecontahedron   星形多面體 60 120 44 Ih, [5,3], (*532)  
大十二面截半二十面體
大凧形六十面體英語Great deltoidal hexecontahedron   星形多面體 60 120 62 Ih, [5,3], (*532)  
非凸大斜方截半二十面體
大菱形十二面六十面體英語Great rhombidodecacron   星形多面體 60 120 42 Ih, [5,3], (*532)  
大斜方十二面體
中鳶形六十面體英語Medial deltoidal hexecontahedron   星形多面體 60 120 54 Ih, [5,3], (*532)  
斜方截半大十二面體
內側二十角星化六十面體英語Medial icosacronic hexecontahedron   星形多面體 60 120 44 Ih, [5,3], (*532)  
二十面化截半大十二面體
斜方星形二十面體   星形多面體 60 120 50 Ih, [5,3], (*532)  
斜方二十面體
小六角六十面體英語Small hexagonal hexecontahedron   星形多面體 60 180 112 Ih, [5,3], (*532)  
完全扭稜二十面體
小二十面半無窮星形十二面體英語Small icosihemidodecacron   無窮星形多面體 30 60 26 Ih, [5,3], (*532)  
小二十面半十二面體
小十二面半無窮星形十二面體英語Small dodecahemidodecacron   無窮星形多面體 30 60 18 Ih, [5,3], (*532)  
小十二面半十二面體
大菱形三十面體   星形多面體 30 60 32 Ih, [5,3], (*532)  
大截半二十面體
大十二面半無窮星形十二面體英語Great dodecahemidodecacron   無窮星形多面體 30 60 18 Ih, [5,3], (*532)  
大十二面半十二面體
大二十面半無窮星形十二面體英語Great icosihemidodecacron   無窮星形多面體 30 60 26 Ih, [5,3], (*532)  
大二十面半十二面體
內側菱形三十面體   星形多面體 30 60 24 Ih, [5,3], (*532)  
截半大十二面體
小十二面半無窮星形二十面體英語Small dodecahemicosacron   無窮星形多面體 30 60 22 Ih, [5,3], (*532)  
小十二面半二十面體
大十二面半無窮星形二十面體英語Great dodecahemicosacron   無窮星形多面體 30 60 22 Ih, [5,3], (*532)  
大十二面半二十面體
大雙三角十二角星化六十面體英語Great ditrigonal dodecacronic hexecontahedron   星形多面體 60 120 44 Ih, [5,3], (*532)  
大雙三角十二面截半二十面體
大二十角星化六十面體英語Great icosacronic hexecontahedron   星形多面體 60 120 52 Ih, [5,3], (*532)  
大二十面化截半二十面體
大十二面二十面六十面體   星形多面體 60 120 32 Ih, [5,3], (*532)  
大十二面二十面體
小六角星六十面體英語Small hexagrammic hexecontahedron   星形多面體 60 180 112 Ih, [5,3], (*532)  
小反屈扭稜二十面截半二十面體
小三角六邊形二十面體   星形多面體 20 60 32 Ih, [5,3], (*532)  
小雙三斜三十二面體
內側三角六邊形二十面體   星形多面體 20 60 24 Ih, [5,3], (*532)  
雙三斜十二面體
大三角六邊形二十面體   星形多面體 20 60 32 Ih, [5,3], (*532)  
大雙三斜三十二面體
小十二角星化六十面體維基數據所列Q18048505   星形多面體 60 120 44 Ih, [5,3], (*532)  
小十二面截半二十面體
小星形菱形十二面體英語Small rhombidodecacron   星形多面體 60 120 42 Ih, [5,3], (*532)  
小斜方十二面體
大五角化十二面體   星形多面體 60 90 24 Ih, [5,3], (*532)  
小星形截角十二面體
大星形五角化十二面體   星形多面體 60 90 32 Ih, [5,3], (*532)  
截角大二十面體
小二十角星化六十面體英語Small icosacronic hexecontahedron   星形多面體 60 120 52 Ih, [5,3], (*532)  
小二十面化截半二十面體
小雙三角十二角星化六十面體英語Small ditrigonal dodecacronic hexecontahedron   星形多面體 60 120 44 Ih, [5,3], (*532)  
小雙三角十二面截半二十面體
小十二面二十面六十面體英語Small dodecicosacron   星形多面體 60 120 32 Ih, [5,3], (*532)  
小十二面二十面體
大三角化二十面體英語Great triakis icosahedron   星形多面體 60 90 32 Ih, [5,3], (*532)  
大星形截角十二面體
大二重斜方截半二十面無窮星形六十面體英語Great dirhombicosidodecacron   無窮星形多面體 60 240 124 Ih, [5,3], (*532)  
大二重斜方截半二十面體
大六角六十面體英語Great hexagonal hexecontahedron   星形多面體 60 180 104 Ih, [5,3], (*532)  
大扭稜十二面截半二十面體
大二重扭稜二重斜方十二面無窮星形六十面體維基數據所列Q18048492   無窮星形多面體 60 360 204 Ih, [5,3], (*532)  
大二重扭稜二重斜方十二面體
三重二方二十面體英語Tridyakis icosahedron   星形多面體 120 180 44 Ih, [5,3], (*532)  
二十面截角十二面十二面體
內側雙二方三十面體英語Medial disdyakis triacontahedron   星形多面體 120 180 54 Ih, [5,3], (*532)  
截角截半大十二面體
大四角化菱形三十面體維基數據所列Q18048490   星形多面體 120 180 62 Ih, [5,3], (*532)  
大截角截半二十面體
中五角六十面體英語Medial pentagonal hexecontahedron   星形多面體 60 150 84 Ih, [5,3], (*532)  
扭稜小星形十二面體
中六角六十面體英語Medial hexagonal hexecontahedron   星形多面體 60 180 104 Ih, [5,3], (*532)  
扭稜二十面化截半大十二面體
大五角六十面體英語Great pentagonal hexecontahedron   星形多面體 60 150 92 Ih, [5,3], (*532)  
扭稜大星形十二面體
大逆五角六十面體維基數據所列Q18048506   星形多面體 60 150 92 Ih, [5,3], (*532)  
反扭稜大星形十二面體
中逆五角六十面體英語Medial inverted pentagonal hexecontahedron   星形多面體 60 150 84 Ih, [5,3], (*532)  
反扭稜小星形十二面體
大五角星六十面體英語Great pentagrammic hexecontahedron   星形多面體 60 150 92 Ih, [5,3], (*532)  
大反屈扭稜截半二十面體

參見

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參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208 
  2. ^ Gailiunas, P.; Sharp, J., Duality of polyhedra, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 2005, 36 (6): 617–642, S2CID 120818796, doi:10.1080/00207390500064049 
  3. ^ Fleurent, GM. Symmetry and polyhedral stellation—Ib. Symmetry 2 (Elsevier). 1989: 177–193. 
  4. ^ Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.
  5. ^ Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  6. ^ Weisstein, Eric W. Dipyramid. mathworld.wolfram.com. [2019-12-02]. (原始內容存檔於2023-06-20) (英語). 
  7. ^ Weisstein, Eric W. Antiprism. mathworld.wolfram.com. [2019-12-02]. (原始內容存檔於2019-05-02) (英語). 
  8. ^ Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P., Mathematical Models英語Mathematical Models (Cundy and Rollett) 2nd, Oxford: Clarendon Press, 1961, MR 0124167 
  9. ^ Cundy & Rollett (1961)[8], p. 117
  10. ^ Wenninger (1983)[1], p. 30
  11. ^ Weisstein, Eric W. Rhombic Dodecahedron. mathworld.wolfram.com. [2019-12-02]. (原始內容存檔於2023-07-03) (英語). 
  12. ^ Weisstein, Eric W. Dual Polyhedron. mathworld.wolfram.com. [2019-12-02]. (原始內容存檔於2020-10-30) (英語).