數學上(特別是代數拓撲抽象代數),同調 (homology,在希臘語homos = 同)是一類將一個可換群或者序列和特定數學物件(例如拓撲空間或者)聯繫起來的過程。背景知識請參看同調論

對於一個特定的拓撲空間,同調群通常比同倫群要容易計算得多,因此通常來講用同調來輔助空間分類要容易處理一些。

同調群的構造

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其過程如下:給定物件 ,首先定義鏈複形,它包含了 的資訊。一個鏈複形是一個由群同態聯繫起來的可換群或者模 的序列,群同態 滿足任何兩個相連的同態的複合為0:  對於所有 成立。這意味着第 個映射的包含在第 個映射的中,我們定義  階同調群商群(商模)

 

鏈複形稱為正合的,如果( )階映射的像總是等於 階映射的核。因此 的同調群是衡量 所關聯的鏈複形離正合有「多遠」的障礙。

非正式的例子

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非正式地,拓撲空間X的同調是X拓撲不變量的集合,用其同調群來表示

 

其中第 個同調群 描繪了 中的 維圈 (cycle),實現為 維圓盤邊界 (boundary) 的障礙。0維同調群刻畫了兩個零維圈,也即點,實現成一維圓盤,也即線段的邊界的障礙,因此 刻畫了 中的路徑連通分支。[1]

 
圓,或稱為1維球面 

一維球面  是一個。它有一個連通分支和一個一維圈,但沒有更高維圈。其對應的同調群由下式給出

 

其中 表示整數加群, 表示平凡群 表示 的一階同調群為由一個元素生成的有限生成阿貝爾群,其唯一的生成元表示圓中包含的一維圈。[2]

 
2維球面 即球的球殼,不包括球的內部。

二維球面 有一個連通分支,零個一維圈,一個二維圈(即球面),無更高維的圈,其對應的同調群為[2]

 

一般地,對 維球面 ,其同調群為

 
 
實心圓盤,即2維球 

二維實心 有一個路徑連通分支,但與圓不同的是, 沒有一維或更高維的圈,其對應的同調群除了零階同調群 以外,其餘階的同調群均為平凡群。

 
環面 

環面被定義為兩個圓 笛卡爾積。環面有一個路徑連通分支,兩個獨立的一維圈(在圖中以紅圈和藍圈分別標出),以及一個二維圈(環面的內部)。其對應的同調群為[3]

 

兩個獨立的一維圈組成了一組有限生成阿貝爾群的獨立生成元,表示為笛卡爾積群 .


例子

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引入同調的概念可以用單體複形 單純同調:設  中的 維可定向單體生成的自由交換群或者模,映射 映射稱為邊緣映射 (boundary map),它將 維單體

 

映射為如下交錯和

 

,其中 表示 限制在 對應的面 (face)上。如果我們將模取在一個域上,則  階同調的維數就是  維圈的個數。

仿照單純同調群,可以定義任何拓撲空間 的奇異同調群。我們定義 的餘調的鏈複形中的空間為 為自由交換群(或者自由模),其生成元為所有從 單體 連續函數。同態 從單體的邊緣映射得到。

同調代數中,同調用於定義導來函子,例如,Tor函子。這裏,我們可以從某個可加協變函子 和某個模 開始。 的鏈複形定義如下:首先找到一個自由模 和一個滿同態 。然後找到一個自由模 和一個滿同態 。以該方式繼續,得到一個自由模 和同態 的序列。將函子 應用於這個序列,得到一個鏈複形;這個複形的同調 僅依賴於  ,並且按定義就是 作用於 n階導來函子。

同調函子

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鏈複形構成一個範疇:從鏈複形 到鏈複形 的態射是一個同態的序列 ,滿足 對於所有 成立。 階同調  可以視為一個從鏈複形的範疇到可換群(或者模)的範疇的協變函子

若鏈複形以協變的方式依賴於物件 (也就是任何態射 誘導出一個從 的鏈複形到 的鏈複形的態射),則 是從 所屬的範疇到可換群(或模)的範疇的函子

同調和餘調的唯一區別是餘調中的鏈複形以逆變方式依賴於 ,因此其同調群(在這個情況下稱為餘調群並記為 )構成從 所屬的範疇到可換群或者模的範疇的逆變函子。

性質

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 是鏈複形,滿足出有限個 外所有項都是零,而非零的都是有限生成可換群(或者有限維向量空間),則可以定義歐拉示性數

 

(可換群採用而向量空間的情況採用哈默爾維數)。事實上在同調水平上也可以計算歐拉示性數:

 

特別地,在代數拓撲中,歐拉示性數 是拓撲空間的重要不變量。

此外,每個鏈複形的短正合序列

 

誘導一個同調群的長正合序列

 

這個長正合序列中的所有映射由鏈複形間的映射導出,除了映射 之外。後者稱為連接同態,由蛇引理給出。

參看

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參考文獻

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  1. ^ Spanier 1966,第155頁
  2. ^ 2.0 2.1 Gowers 2010,第390–391頁
  3. ^ Hatcher 2002,第106頁