不可數集(英語:uncountable set)是無窮集合中的一種。一個無窮集合和自然數集之間要是不存在一個雙射,那麼它就是一個不可數集。集合的不可數性與它的基數密切相關:如果一個集合的基數大於自然數的基數,那麼它就是不可數的。

定義

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不可數集有許多等價的定義。一個集合 是不可數集,若且唯若以下任何一個條件成立:

  • 不存在從 到自然數集合的單射函數
  •  的基數既不是有限的,又不等於 阿列夫-0,自然數集合的基數)。
  •  的基數嚴格大於 

性質

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  • 如果不可數集 是集合 的子集,則 是不可數集。

例子

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不可數集的最廣為人知的例子,是所有實數的集合 對角論證法證明了這個集合是不可數的。對角論證法也可以用來證明一些其它的集合是不可數的,例如所有自然數的無窮序列的集合(甚至是所有只由0和1所組成的無窮序列的集合),以及自然數集合的所有子集所組成的集合。 的基數通常記為  ,或 

康托爾集 的一個不可數子集。它是一個分形,其豪斯多夫維大於零,但小於一( 的維數是一)。這是以下事實的一個例子:如果 的某個子集有嚴格大於零的豪斯多夫維,那麼它一定是不可數的。

另外一個不可數集的例子,是所有從  的函數的集合。這個集合比 更「不可數」,因為它的基數是 ,它比 還要大。

一個更加抽象的例子,是所有可數序數的集合,記為   的基數記為 。利用選擇公理,可以證明 是最小的不可數基數。於是,實數的基數 ,要麼等於 ,要麼嚴格比它大。康托爾是第一個提出 是否等於 的問題的人。在1900年,希爾伯特把這個問題作為他的23個問題之一。 的陳述現在稱為連續統假設,現已知道它獨立於集合論ZF公理(包括選擇公理)。

參見

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參考文獻

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外部連結

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