草稿:斯通-馮諾伊曼定理

在數學和理論物理學中，斯通-馮諾伊曼定理是指位置和動量算子間的正則對易關係的唯一性的眾多不同表述中的一種。它冠名於馬歇爾·斯通和約翰·馮·諾依曼。

對易關係的表示問題

在量子力學中，物理可觀測量在數學上由希爾伯特空間上的線性算子來表示。

對於在實軸 $\mathbb {R}$ 上運動的單個粒子，有兩個重要的可觀測量：位置和動量。在薛定諤繪景中，位置算子 $x$ 和動量算子 $p$ 在 $\psi$ 上的作用定義為

$${\begin{aligned}[][x\psi ](x_{0})&=x_{0}\psi (x_{0})\\[][p\psi ](x_{0})&=-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}(x_{0})\end{aligned}}$$

定義域 $V$ 中的 $\psi$ 是 $\mathbb {R}$ 上的緊支撐無窮可微函數。假定 $\hbar$ 是一固定的非零實數——在量子理論中 $\hbar$ 即是約化普朗克常數，其具有作用量的量綱（即能量乘時間的量綱）。

算子 $x$, $p$ 滿足正則對易關係的李代數：

$$[x,p]=xp-px=i\hbar .$$

赫爾曼·外爾在他的經典著作中指出，若 $x$, $p$ 是作用於有限維空間上的線性算子，除非 $\hbar$ 為零，否則它們不可能滿足上面的對易關係。這一點可通過對第二個等號的兩邊取跡並使用關係 $\operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)$ 之間看出：左邊將為零，而右邊卻非零。進一步的分析表明，任何兩個滿足上述對易關係的自伴算子不可能同時是有界的（事實上， Wielandt的一個定理表明，任何賦范代數的元素都不可能滿足該關係）。為了記號上的方便， $\hbar$ 的非零平方根可以被吸收到 $x$, $p$ 的定義中，如此也就是說可以用 1 替換它，下文將使用這種約定。

斯通-馮諾伊曼定理的思想是，正則對易關係的任意兩個不可約表示都是幺正等價的。然而，由於所涉及的算子必然是無界的（如上所述），存在一些棘手的定義域問題，允許反例的存在。 為了獲得嚴格的結果，必須要求算子滿足標準對易關係的指數形式，即所謂的外爾關係。指數映射後的算子是有界且幺正的。雖然這些關係在形式上等同於標準規範交換關係，但這種等價性並不嚴格，這（同樣）是算子的無界性質導致的。（還有一個外爾關係的離散類比，在有限維空間中成立 ，即有限海森堡群中的西爾維斯特時鐘和移位矩陣，如下所述。）

表示的唯一性

人們希望對作用於可分希爾伯特空間的兩個自伴算子的正則對易關係的表示進行分類，每個類內的表示都幺正等價。根據單參數酉群的斯通定理，自伴算子與（強連續）單參數酉群之間存在一一對應關係。

令 $Q$ 和 $P$ 是兩個滿足正則對易關係 $[Q,P]=i$ 的自伴算子；另有兩個實參數 $s$ 和 $t$ 。藉由函數演算，可引入 $e^{itQ}$和 $e^{isP}$ 及其對應的酉群。（對於上面顯式定義的算子 $x$, $p$ ，則分別是 $e^{itx}$ 的乘法算子和平移變換 $x\mapsto x+s$ 的拉回。）容易通過一個形式上的計算 （用到貝克-坎貝爾-豪斯多夫公式的一個特例）得出

$$e^{itQ}e^{isP}=e^{-ist}e^{isP}e^{itQ}.$$

反過來，給定兩個滿足下面的交織關係的單參數酉群 $U(t)$ 和 $V(s)$ ：

$\forall s,t,\quad U(t)V(s)=e^{-ist}V(s)U(t),$   (E1)

通過形式上求在 0 處的導數，即可看出它們的兩個無窮小生成元滿足前文的正則對易關係。單參數酉群的正則對易關係（CCR）的這種交織形式稱為CCR的外爾形式。

值得注意的是，前述推導純粹是形式上的。由於所涉及的算子是無界的，因此一些技術問題會阻止人們在不額外對定義域作假設的情況下應用貝克-坎貝爾-豪斯多夫公式。實際上，確實存在滿足正則對易關係卻不滿足外爾關係 (E1) 的算子。儘管如此，在「好」的情況下，我們希望滿足正則對易關係的算子也將滿足外爾關係。

因此，問題變為對聯合不可約、且滿足可分希爾伯特空間上的外爾關係的兩個單參數酉群 $U(t)$ 和 $V(s)$ 進行分類。答案就是斯通-馮諾依曼定理的內容：所有這樣的單參數酉群對都是酉等價的。換句話說，對於不可約地作用於希爾伯特空間 $H$ 上的任何兩個這樣的 $U(t)$ 和 $V(s)$ ，存在一個幺正算子 $W:L^{2}(R)\to H$ 使得

$$W^{*}U(t)W=e^{itx}\quad {\text{and}}\quad W^{*}V(s)W=e^{isp},$$