本條目中,向量標量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用 表示;而其大小則用 來表示。

電磁學裏,電荷密度是一種度量,用以描述空間中連續電荷的分布狀況。依據討論電磁模型的維度而定,電荷密度可以是線電荷密度面電荷密度體電荷密度

假設電荷分佈於一條曲線或一根直棒子,則其線電荷密度是每單位長度的電荷密度,單位為庫侖公尺 (coulomb/meter) 。假設電荷分佈於一個平面或一個物體的表面,則其面電荷密度是每單位面積的電荷密度,單位為庫侖/公尺2。假設電荷分佈於一個三維空間的某區域或物體內部,則其體電荷密度是每單位體積的電荷密度,單位為庫侖/公尺3

由於在大自然裏,有兩種電荷,正電荷負電荷,所以,電荷密度可能會是負值。電荷密度也可能會跟位置有關。特別注意,不要將電荷密度與電荷載子密度 (charge carrier density) 搞混了。

電荷密度與電荷載子的體積有關。例如,由於陽離子的半徑比較小,它的體電荷密度大於陽離子的體電荷密度。

古典電荷密度

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假設,一個體積為  載電體,其電荷密度   是均勻的,跟位置無關,那麼,總電荷量  

 

假設,在某一區域內有   個離散的點電荷,像電子。那麼,電荷密度可以用狄拉克δ函數來表達為

 

其中,   是檢驗位置,  是位置為   的第   個點電荷的電量

量子電荷密度

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氫原子的電子機率密度繪圖。橫排顯示不同的角量子數 (l) ,豎排顯示不同的能級 (n) 。這也是氫原子的負電荷密度圖。氫原子的質子的中心有一個正電性的質子

量子力學裏,類氫原子的中心有一個正電性的原子核,環繞著原子核四週的一個電子的軌域,其電荷密度可以用波函數   表達為[1]

 

其中,  是電子的電荷量。

注意到   是找到電子的機率。經過歸一化,在全部空間找到電子的機率是

 

例如,氫原子的波函數  

 

其中,  是徑向函數, 球諧函數 主量子數 角量子數 磁量子數

相對論性電荷密度

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相對論的角度來論述,導線的長度與觀察者的移動速度有關,所以電荷密度是一種相對論性觀念。安東尼·法蘭碁Anthony French)在他的著作中表明[2],移動中的電荷密度會產生磁場力,會吸引或排斥其它載流導線。。使用閔可夫斯基圖,法蘭碁闡明,一條中性的載流導線,對於處於移動參考系的觀察者而言,為什麼會貌似載有淨電荷密度。通過時空坐標,研究電磁現象的領域稱為相對論性電磁學relativistic electromagnetism)。

電荷守恆的連續方程式

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電荷密度與電流密度之間的關係式為:

 

其中,  是位置,  是時間,  是電流密度。

電磁理論裏,從馬克士威方程組,可以推導出電荷守恆的連續方程式。根據加入位移電流項目後的安培定律[3]

 

其中,  是磁場,  是電場, 磁常數 電常數

散度於方程式的兩邊:

 

由於旋度的散度等於零,再根據高斯定律,可以得到想要的關係式

 

換另外一種比較直覺的推導方法。流入某體積   的淨電流為

 

其中,  是電流,  是包圍體積   的閉曲面,  是微小面向量元素,垂直於   從體積內朝外指出。

應用散度定理,將這方程式寫為

 

總電荷量   與體積   內的電荷密度   的關係為

 

電荷守恆要求,流入體積   的淨電流,等於體積   內總電荷量   的變率:

 

所以,

 

對於任意體積   ,上述方程式都成立。所以,可以將被積式提取出來:[4]

 

電勢和電場

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在一個體積區域   內,源位置   的電荷密度為   的電荷分佈,所產生在場位置  電勢[3]

 

其中,  是微小體積元素。

電場   是電勢的負梯度

 

應用向量關係式

 

取散度於電場,

 

可以得到高斯定律的微分形式

 

帕松方程式

 

參閱

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參考文獻

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  1. ^ Cao, Tian Yu, Conceptual developments of 20th century field theories reprint, illustrated, Cambridge University Press: pp. 146–147, 1998, ISBN 9780521634205 
  2. ^ A. French (1968) Special Relativity, chapter 8 Relativity and electricity, pp 229–65, W. W. Norton.
  3. ^ 3.0 3.1 Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 29–31, 237–239, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1 
  4. ^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 213, 1998, ISBN 0-13-805326-X