空集合(英語:empty set)是不含任何元素的集合,數學符號為、∅或{ }。

符號

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空集符號源自北歐拉丁字母,不是希臘字母。

空集的標準符號由尼古拉·布爾巴基小組創造,寫作 ),首先見於他們在1939年出版的《數學原本卷一:集合論》(Éléments de mathématique. Livre 1. Théorie des ensembles. Fascicule de résultats)。這符號也可寫作 ,有時候採用近似字符「Ø」,也可以使用大括號 表示。

這符號源自北歐語言的拉丁字母Ø」,但常被誤會為希臘字母φ」。(φ有兩個寫法:小寫的 和縮小了的大寫 ,後者常被誤用為空集符號。 的中間為一長豎,中間的圈也較小,與 的斜線和大圓不同。)。

提出用北歐字母為符號的,是布爾巴基小組成員安德烈·韋伊。他在自傳寫道:

空集符號∅的Unicode編碼為U+2205,TeX代碼是\emptyset\varnothing(後者是AMS符號,很多人較喜歡後者的字形[2])。

性質

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(這裡採用數學符號)。

  • 對任意集合 ,空集是 子集
     
  • 對任意集合 ,空集和 併集 
     
  • 對任意集合 ,空集和 交集為空集:
     
  • 對任意集合 ,空集和 笛卡爾積為空集:
     
  • 空集的唯一子集是空集本身:
     
  • 空集的冪集是僅包含空集的集合:
     
  • 空集的元素個數(即它的)為;特別是,空集是有限的:
     

集合論中,兩個集合相等,若它們有相同的元素;那麼僅可能有一個集合是沒有元素的,即空集是唯一的。

考慮空集為實數線(或任意拓撲空間)的子集,空集既是開集、又是閉集。空集的邊界點集合是空集,是它的子集,因此空集是閉集。空集的內點集合也是空集,是它的子集,因此空集是開集。另外,空集是緊緻集合,因為凡有限集合都是緊緻的。

空集的閉包是空集。

空集和0

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根據定義,空集有0個元素,或者稱其勢為0。然而,這兩者的關係可能更進一步:在標準的自然數的集合論定義中,0被定義為空集。

常見問題

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空集不是「無」;它是「內部」沒有元素的集合,但這個集合是「存在」的,即「有」這個集合。這通常是初學者的一個難點。可以將集合想象成一個裝有其元素的袋子──袋子可能是空的,但袋子本身確實是存在的。

有些人會想不通上述第一條性質,即空集是任意集合 的子集。按照子集的定義,這條性質是說 的每個元素x都屬於 。若這條性質不為,那{}中至少有一個元素不在 中。由於 中沒有元素,也就沒有 的元素不屬於 了,得到 的每個元素都屬於 ,即  的子集。

空集的運算

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空集(作為集合)上的運算也可能使人迷惑。(這是一種「運算」。) 例如:空集元素的0(「空和」),而它們的1(見空積)。這可能看上去非常奇怪,空集中沒有元素,他們是怎麼相加和相乘的呢? 最終,這些運算的結果更多被看成是運算的問題,而不是空集的。比如,可以注意到0是加法的單位元,而1是乘法的單位元。

公理化集合論

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在諸如策梅洛-弗蘭克爾集合論公理化集合論中,空集的存在性是由空集公理確定的。空集的唯一性由外延公理得出。

使用分類公理,任何陳述集合存在性的公理將隱含空集公理。例如:若 是集合,則分離公理允許構造集合 ,它就可以被定義為空集。

範疇論

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A為集合,則恰好存在一個從  函數 ,即空函數。故此,空集是集合和函數的範疇的唯一初始對象

空集只能通過一種方式轉變為拓撲空間,即通過定義空集為開集;這個空拓撲空間是有連續映射的拓撲空間的範疇的唯一初始對象。

哲學層面

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儘管空集在數學中是一個標準,並被廣泛接受,仍然有人對它表示懷疑。

Jonathan Lowe認為,這一概念「無疑是數學歷史上的里程碑,……;不需要假設其在計算時的有效性要基於其確實表達了某些對象」,但在另一方面,「我們所知的空集只是它 (1)是個集合,(2)沒有元素,(3)在沒有元素的集合中唯一。然而,有很多東西『沒有元素』,在集合論角度而言,叫做非集合。為什麼它們沒有元素是顯而易見的,因為它們不是集合。不清楚的是,為什麼在集合中,沒有元素的集合是唯一的。僅僅通過約束是不可能將這麼一個實體變出來的。」[3]

"To be is to be the value of a variable…"Journal of Philosophy,1984(在書Logic, Logic and Logic中再次發表)中,小George Boolos認為許多集合論中的結論,也可以透過對個體進行複數量化英語Plural quantification來得到,所以無需把集合具體化為包含其他實體作為元素的實體。[4]

參考資料

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  1. ^ André Weil: Souvenirs d'apprentissage, Birkhäuser Verlag, Basel, 1991, p. 119. ISBN 978-3-7643-2500-8
  2. ^ Scott Pakin. The Comprehensive LaTeX Symbol List (PDF): p. 65. 2009-11-09 [2014-09-16]. (原始內容 (PDF)存檔於2015-03-28). 
  3. ^ E. J. Lowe. Locke. Routledge. 2005: 87. 
  4. ^ George Boolos, 1984, "To be is to be the value of a variable," The Journal of Philosophy 91: 430–49. Reprinted in his 1998 Logic, Logic and Logic (Richard Jeffrey, and Burgess, J., eds.) Harvard Univ. Press: 54–72.