在歸入線性代數的各種數學分支中,同態測量同態不及於單射的程度。

核的定義在不同上下文中採用不同的形式。但是在所有形式中,同態的核是平凡的(在與那個上下文有關的意義上),當且僅當這個同態是單射。同態基本定理(或第一同構定理)是應用於核所定義的商代數的採用了各種形式的一個定理。

例子縱覽

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線性算子

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VW向量空間並設 T 是從 VW線性變換。如果0WW零向量,則 T 的核是單元素集合 {0W} 的前像;就是說 V 的由被 T 映射到元素 0W 的那些 V 的元素構成的子集。核通常指示為「ker T」,或者:

 

因為線性變換保持零向量,V 的零向量0V 必須屬於核。變換 T 是單射的,當且僅當它的核只是單元素集合 {0V}。

ker T 顯然總是 V子空間。因此,它使談論商空間 V/(ker T) 有意義。對向量空間的第一同構定理聲稱這個商空間自然同構T(它是 W 的子空間)。作為結論,V維度等於核的維度加上像的維度。

如果 VW 是有限維的向量空間,並且已經選擇好了,則 T 可以用矩陣 M 描述,而這個核可以通過解齊次線性方程組 Mv = 0 來計算。在這種表示中,核對應於 M零空間。零空間的維度叫做 M 的零化度(nullity)由 M 的縱列數減去 M得到,這是秩-零化度定理的結論。

齊次微分方程經常涉及計算特定微分算子的核。例如,為了找到從實數軸到自身的所有二次可微函數 f 使得

x'f''(x) + 3f(x) = f(x),

V 是二次可微函數的空間,設 W 是所有函數的空間,定義從 VW 的線性算子 T

(T''f)(x) = x'f''(x) + 3f(x) - f(x)

對於在 V 中的 fx 是任意實數。這個微分方程的所有解都在 ker T 中。

你可以用類似方式定義在環之上的之間的同態的核。這包括了在阿貝爾群之間的同態的核作為特殊情況。這個例子捕捉了在一般阿貝爾範疇內的核的本質;參見核 (範疇論)

群同態

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GH並設 f 是從 GH群同態。如果 eHH單位元,則 f 的核是單元素集合 {eH} 的前像;就是說,G 的由被 f 映射到元素 eH 的所有 G 的元素構成的子集。核通常指示為「ker f」。或者:

 

因為群同態保持單位元素,G 的單位元素 eG 必須屬於這個核。同態 f 是單射,當且僅當它的核只是單元素集合{eG}。

ker f 明顯不只是 G子群,實際上還是正規子群。因此它使談論商群 G/(ker f) 有意義。群的第一同構定理聲稱這個商群自然同構f(它是 H 的子群)。

阿貝爾群的特殊情況下,這以同前面章節的完全同樣的方式工作。

環同態

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幺半群同態

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泛代數

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