複分析中,一個函數本質奇點(Essential Singularity)又稱本性奇點,是奇點中的「嚴謹」的一類。函數在本質奇點附近會有「極端」的行為。

函數exp(1/z)的函數圖形,在z=0處具有本質奇點,不同的顏色表示輻角值,而亮度則表示絕對值。圖像中顯示出函數在本質奇點附近從不同方向逼近奇點時的行為。與極點附近全白不同,本質奇點附近是半黑半白的。

粗略來說,對複平面 C 上的給定的開子集 U,以及 U 中的一點 亞純函數 f : U\{a} → C 處有本質奇點當且僅當它不是極點也不是可去奇點

例如,函數 處有一個本質奇點。

嚴格地說,點 的本質奇點當且僅當 處的極限 不存在(既不是一個複數,也不是無窮大)。這種情況會發生當且僅當 附近的每一個鄰域中都有極點,或者 處的洛朗展開中含有無窮多個負指數項(即其主部英語Principal part無窮級數)。

亞純函數在本質奇點附近的行為可以用魏爾斯特拉斯-卡索拉蒂定理英語Casorati–Weierstrass theorem或更為強大的皮卡定理描述。皮卡定理說明:在 的本質奇點 附近的每一個鄰域中都會取遍全體複數(或者除了一個值之外)。

參見

編輯

參考來源

編輯

外部連結

編輯