數學上,一個被稱作代數閉域若且唯若任何係數屬於且次數大於零的單變數多項式裡至少有一個。代數閉域一定是無限域。

例子

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舉例明之,實數域並非代數閉域,因為下列實係數多項式無實根:

 

同理可證有理數域非代數閉域。此外,有限域也不是代數閉域,因為若 列出 的所有元素,則下列多項式在 中沒有根:

 

反之,複數域則是代數閉域;這是代數基本定理的內容。另一個代數閉域之例子是代數數域。

等價的刻劃

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給定一個域 ,其代數封閉性與下列每一個性質等價:

不可約多項式若且唯若一次多項式

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F是代數閉域,當且僅當環F[x]中的不可約多項式是而且只能是一次多項式。

「一次多項式是不可約的」的斷言對於任何域都是正確的。如果F是代數閉域,p(x)是F[x]的一個不可約多項式,那麼它有某個根a,因此p(x)是x − a的一個倍數。由於p(x)是不可約的,這意味着對於某個k ∈ F \ {0},有p(x) = k(x − a)。另一方面,如果F不是代數閉域,那麼存在F[x]內的某個非常數多項式p(x)在F內沒有根。設q(x)為p(x)的某個不可約因子。由於p(x)在F內沒有根,因此q(x)在F內也沒有根。所以,q(x)的次數大於一,因為每一個一次多項式在F內都有一個根。

每一個多項式都是一次多項式的乘積

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F是代數閉域,當且僅當每一個係數位於次數F內的n ≥ 1的多項式p(x)都可以分解成線性因子。也就是說,存在域F的元素k, x1, x2, ……, xn,使得p(x) = k(x − x1)(x − x2) ··· (x − xn)。

如果F具有這個性質,那麼顯然F[x]內的每一個非常數多項式在F內都有根;也就是說,F是代數閉域。另一方面,如果F是代數閉域,那麼根據前一個性質,以及對於任何域K,任何K[x]內的多項式都可以寫成不可約多項式的乘積,推出這個性質對F成立。

Fn的每一個自同態都有特徵向量

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F是代數閉域,當且僅當對於每一個自然數n,任何從Fn到它本身的線性映射都有某個特徵向量

Fn自同態具有特徵向量,當且僅當它的特徵多項式具有某個根。因此,如果F是代數閉域,每一個Fn的自同態都有特徵向量。另一方面,如果每一個Fn的自同態都有特徵向量,設p(x)為F[x]的一個元素。除以它的首項係數,我們便得到了另外一個多項式q(x),它有根當且僅當p(x)有根。但如果q(x) = xn + an − 1xn − 1+ ··· + a0,那麼q(x)是以下友矩陣的特徵多項式:

 

有理表達式的分解

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F是代數閉域,當且僅當每一個係數位於F內的一元有理函數都可以寫成一個多項式函數與若干個形為a/(x − b)n的有理函數之和,其中n是自然數,abF的元素。

如果F是代數閉域,那麼由於F[x]內的不可約多項式都是一次的,根據部分分式分解的定理,以上的性質成立。

而另一方面,假設以上的性質對於域F成立。設p(x)為F[x]內的一個不可約元素。那麼有理函數1/p可以寫成多項式函數q與若干個形為a/(x − b)n的有理函數之和。因此,有理表達式

 

可以寫成兩個多項式的商,其中分母是一次多項式的乘積。由於p(x)是不可約的,它一定能整除這個乘積,因此它也一定是一個一次多項式。

代數閉包

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 為代數擴張,且 是代數閉域,則稱  的一個代數閉包。可以視之為包含 的最小的代數閉域。

若我們承認佐恩引理(或其任一等價陳述),則任何域都有代數閉包。設 為任兩個 的代數閉包,則存在環同構 使得 ;代數閉包在此意義上是唯一的,通常記作   

文獻

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