量子场论中,狄拉克旋量(英语:Dirac spinor)为一双旋量,出现在自由粒子狄拉克方程式的平面波解中:
;
自由粒子的狄拉克方程式为:
![{\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0\;,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace5eabbf2cd6ae83b7b54b1703e1b16a2fe3de1)
其中(采用自然单位制
)
为相对论性自旋½场,
是狄拉克旋量,与波向量为
的平面波有关,
,
为平面波的四维波向量,而
为任意的,
为一给定惯性系中的四维空间座标。
正能量解所对应的狄拉克旋量为
![{\displaystyle \omega _{\vec {p}}={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}{\vec {p}}}{E_{\vec {p}}+m}}\phi \end{bmatrix}}\;,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b89a05571294ce126c4cd2852d6edd0ab75ed17)
其中
为任意的双旋量,
为包立矩阵,
为正根号![{\displaystyle \scriptstyle E_{\vec {p}}\;=\;+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4cf16c012f9e8a3974ae3d5e58065ca45a012ec)
源自狄拉克方程式的推导
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狄拉克方程式的形式为:
-
推导出4-旋量 前,可先注意矩阵α与β的值:
-
此二为4×4矩阵,与狄拉克矩阵有关。其中0与I为2×2矩阵。
下一步则是找出下式的解:
- ,
此处可将ω分为两个2-旋量:
- .
将上方资料带入狄拉克方程式,可得
- .
此矩阵方程式实际上是为两条联立方程式:
-
-
对第二条方程式求 的解,可得
- .
对第一条方程式求 的解,可得
- .
此解可展示粒子与反粒子的关系。
2-旋量
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2-旋量最常见的定义为:
-
与
-
包立矩阵
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包立矩阵
-
利用前述知识可计算出:
-
4-旋量
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粒子具有正能量。选择4-旋量ω的归一化使得 。这些旋量标记为u:
-
其中s = 1或2(自旋向上或向下)。
明确地写,其为
-
具有“正”能量 的反粒子可视为具有“负”能量而逆著时间行进的粒子;因此,将粒子案例的 与 增加一负号可得到反粒子的结果:
-
在这里我们选择了 解。明确地写,其为
-
相关条目
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参考文献
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