包络线(Envelope)是几何学里的概念,代表一条曲线与某个曲线族中的每条线都有至少一点相切。(曲线族即一些曲线的无穷集,它们有一些特定的关系。)
建立曲线族的包络线。
设一个曲线族的每条曲线
可表示为
,其中
是曲线族的参数,
是特定曲线的参数。若包络线存在,它是由
得出,其中
以以下的方程求得:
![{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial h}}{\frac {\partial x}{\partial s}}={\frac {\partial y}{\partial s}}{\frac {\partial x}{\partial h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35afeec39ce6eb515084376fbf742f6c5f0091f7)
若曲线族以隐函数形式
表示,其包络线的隐方程,便是求下面两个方程的解x和y之隐函数关系。
![{\displaystyle {\begin{cases}F(x,y,s)=0\\{\frac {\partial F(x,y,s)}{\partial s}}=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731d4db8b111d0c49b81196d7f439484a2b9d1df)
绣曲线是包络线的例子。直线族
(其中
是常数,
是直线族的变数)的包络线为抛物线。[1] (页面存档备份,存于互联网档案馆)
设曲线族的每条曲线 为 。
设存在包络线。由于包络线的每点都与曲线族的其中一条曲线的其中一点相切,对于任意的 ,设 表示 和包络线相切的那点。由此式可见, 是包络线的变数。要求出包络线,就即要求出 。
在 的切向量为 ,其中 。
在E的切向量为 。因为 是 和 的函数,而此处 ,局部求导有:
-
类似地得 。
因为 和 在该点相切,因此其切向量应平行,故有
-
-
其中 。可用此两式消去 。整理后得: