阿罗不可能定理(英语:Arrow's impossibility theorem)或阿罗悖论Arrow's paradox)指的是诺贝尔奖得主肯尼斯·阿罗提出的一项社会理论。其描述的是在有三个以上的选项时,没有任何“排名投票”机制可以既把个人偏好的排名转变为代表整个群体的排序,而且还兼顾普遍性(不考虑特别限制以外的所有民众都能投票)、非独裁(并非由唯一选民决定结果)、帕累托效率(有人变好就要有人变差),以及独立性(不相干的人投票不应连动)。

命题

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有 N 种选择,有 m 个决策者,他们每个人都对这 N 个选择有一个从优至劣的排序。我们要设计一种选举法则,使得将这 m 个排序的信息汇总成一个新的排序,称为投票结果。我们希望这种法则满足以下条件:

一致性 (unanimity)
或称为“帕累托效率” (Pareto efficiency)。即如果所有的 m 个决策者都认为选择 a 优于 b,那么在投票结果中,a 也优于 b。
非独裁 (non-dictatorship)
不存在一个决策者 X,使得投票结果总是等同于 X 的排序。
独立于无关选项 (independence of irrelevant alternatives, IIA)
如果现在一些决策者改了主意,但是在每个决策者的排序中,a 和 b 的相对位置不变,那么在投票结果中 a 和 b 的相对位置也不变。

那么,如果 N 大于等于 3,我们不可能设计出这种制度。

例子

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例如,某日人们举办一个投票,这个投票问卷只有一个问题,包含若干个选项,投票者根据自己的偏好给这几个选项排序。人们希望满足以下几个条件:

  • 投票的结果应该能表现出多个参加者的偏好,而不是某个人的偏好。
  • 它应该能体现所有参加者的偏好,并且如果有2次投票所有人投的票相同,结果也一定相同。
  • 如果人们改变了某2个选项的相对优先级,那么这变化不应该影响其他选项的相对优先级。
  • 如果一个人提高了某个选项的优先级,那么在结果中,这个选项的优先级不能因此下降。
  • 所有结果的排序都应该是可能达到的。

阿罗的结论是,如果有2个或以上的人参加投票,并且问题有3个或以上的选项,那么以上的这些条件不可能同时满足。

参考文献

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书籍

外部链接

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  • Tang, Pingzhong; Lin, Fangzhen. Computer-aided Proofs of Arrow's and Other Impossibility Theorems. Artificial Intelligence. 2009, 173: 1041–1053. doi:10.1016/j.artint.2009.02.005. 

参见

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