协态方程(costate equation)和最优控制中用到的状态方程有关[1][2],也称为辅助方程伴随方程影响方程或是乘数方程。协态方程是向量一阶常微分方程

其中等式的右边为哈密顿量)对状态变数偏导数的负值。

解释

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协态变数 可以解释为状态方程相关的拉格朗日乘数。状态方程表示最小化问题中的限制条件,协态变数则是违反这些条件的边际成本,在经济学中协态变数即为影子价格[3]

求解

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状态方程和初始条件有关,会从起始时间开始,往后求解。协态方程和边界条件有关,需从最终时间开始,往前求解。进一步的细节可参考庞特里亚金最小化原理[4]

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参考资料

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  1. ^ Kamien, Morton I.; Schwartz, Nancy L. Dynamic Optimization Second. London: North-Holland. 1991: 126–27. ISBN 0-444-01609-0. 
  2. ^ Luenberger, David G. Optimization by Vector Space Methods. New York: John Wiley & Sons. 1969: 263. 
  3. ^ Takayama, Akira. Mathematical Economics. Cambridge University Press. 1985: 621. 
  4. ^ Ross, I. M.英语I. Michael Ross A Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control, Collegiate Publishers, 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9.