环 (代数)

環（英文：Ring）是一種帶有兩個二元運算（抽象化的「加法」和「乘法」）、並且符合特定運算規則的集合。它抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。它是環論的主要研究對象，並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。

環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於環是否要有乘法單位元有不同見解，在部份情況下甚至不要求乘法有結合律。然而除非明確聲明，否則本條目所稱的「環」是指有乘法單位元、乘法有結合律的環。

定義

給定一個集合 $R$ 以及兩個定義在 $R$ 上的二元運算 $+$ 和 $\times$ 。如果 $R$ 、 $+$ 和 $\times$ 具有以下八個性質，則稱 $(R,+,\times )$ 構成了一個環。

1. $(R,+)$ 是一個交換群：
   • 加法有結合律——對所有的 $a,b,c\in R$ ，都有：
     $$(a+b)+c=a+(b+c)$$
   • 加法有交換律——對所有的 $a,b\in R$ ，都有：
     $$a+b=b+a$$
   • 有加法單位元——存在某個 $0_{R}\in R$ ，使得所有的 $r\in R$ ，都有：
     $$0_{R}+r=r$$
   • 有加法反元素——對所有的 $r\in R$ ，存在某個 $-r\in R$ ，使得：
     $$-r+r=0$$
2. ${\textstyle (R,\times )}$ 是一個有單位元的半群：
   • 乘法有結合律——對所有的 $a,\,b,\,c\in R$ ，都有：
     $$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$$
   • 有乘法單位元——存在某個 $1_{R}\in R$ ，使得所有的 $r\in R$ ，都有：
     $$1_{R}\times r=r\times 1_{R}=r$$
3. 乘法對於加法滿足分配律：
   • （左）分配律——對所有的 $a,\,b,\,c\in R$ ，都有：
     $$a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$$
   • （右）分配律——對所有的 $a,\,b,\,c\in R$ ，都有：
     $$(a+b)\times c=(a\times c)+(b\times c)$$

環的乘法經常依照慣例，不會寫出「 $\times$ 」這個符號。例如（左）分配律就可以寫成：

$$a(b+c)=ab+ac$$

此外，加法單位元也經常稱為「零元素」或直接簡稱為「零」。

定義的分歧

環的定義的分歧通常在於是否要求乘法單位元的存在。在 1960 年代以前，多數抽象代數的教科書通常會採用埃米·諾特的定義，不要求乘法單位元存在。然而在 1960 年後，越來越多的著名教科書作者（例如：尼古拉·布爾巴基、大衛·艾森佈德、塞爾日·蘭）開始將乘法單位元的存在性納入定義中。不要求乘法單位元存在的作者，通常會將有乘法單位元的環稱為單位環（ unital ring ）；反之，要求乘法單位元存在的作者，可能會將不含乘法單位元（ identity ）的環（ ring ）稱為 rng 或偽環（ pseudo-ring ），或甚至乾脆不提及任何沒有單位元的環。

另外在交換代數的文獻中，通常還會額外約定環的乘法要滿足交換律。這類文獻的作者通常會事先聲明。

例子

• 整數 $\mathbb {Z}$ 、有理數 $\mathbb {Q}$ 、實數 $\mathbb {R}$ 和複數 $\mathbb {C}$ ，連同尋常的加法和乘法，構成了一個環。它們的加法單位元是 $0$ ，乘法單位元是 $1$ ，是最典型的實際例子。
• 整係數多項式環 $\mathbb {Z} [x]$ 、有理係數多項式環 $\mathbb {Q} [x]$ ，實係數多項式環 $\mathbb {R} [x]$ 、複係數多項式環 $\mathbb {C} [x]$ ，連同多項式加法和乘法，構成一個環。它們的加法單位元也是 $0$ ，乘法單位元也是 $1$ 。更一般地，可以考慮任何環 $R$ 的多項式環 $R[x]$ 。
• 整係數有理函數 $\mathbb {Z} (x)$ 、有理係數有理函數 $\mathbb {Q} (x)$ ，實係數有理函數 $\mathbb {R} (x)$ 、複係數有理函數 $\mathbb {C} (x)$ ，連同有理函數的加法和乘法，構成一個環。它們的加法單位元依然是 $0$ ，乘法單位元依然是 $1$ 。更一般地，可以考慮任何環 $R$ 的有理函數環 $R(x)$ ；而「建構分式」的操作還是「分式體」以及更一般的「局部化」這些概念的起源。
• 大小為 $n\times n$ 的實係數矩陣 $\mathbf {M} _{n}(\mathbb {Z} )$ 、實係數矩陣 $\mathbf {M} _{n}(\mathbb {Q} )$ 、實係數矩陣 $\mathbf {M} _{n}(\mathbb {R} )$ 、或複係數矩陣 $\mathbf {M} _{n}(\mathbb {C} )$，連同矩陣加法和矩陣乘法，構成一個環。它們的加法單位元是單位矩陣 ：
  $$\mathrm {I} _{n}:={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\\\end{bmatrix}}_{n\times n}$$
  乘法單位元則是零矩陣 ：
  $$\mathbf {0} _{n}:={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0\\0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &0\\\end{bmatrix}}_{n\times n}$$
  同樣的，可以考慮任何環 $R$ 的矩陣環 $\mathbf {M} _{n}(R)$ 。矩陣環也是典型的非交換環。
• 如果集合 $R$ 只有一個元素，那 $R$ 只可能定義出唯一的一種環結構——零環（ Zero ring ）。

基本性質

• 零元素是唯一的
• 零乘以任何東西都是零
• 乘法單位元是唯一的
• 任何元素如果有乘法反元素，那是唯一的
• 多個環元素的分配律：
  $$\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{i}b_{j}$$
• 環元素的整數倍與整數次方——整數可以用來當作是任何環的係數，只要定義以下的係數運算規則：
  $$na:=\underbrace {a+a+\cdots a} _{n{\text{ 次}}}\qquad (-n)a:=\underbrace {(-a)+(-a)+\cdots (-a)} _{n{\text{ 次}}}\qquad 0a:=0_{R}$$
  這種係數運算規則和普通係數的概念有許多一致性，例如：
  • $n(ab)=(na)b=a(nb)$
  • $(nm)a=n(ma)=m(na)$
  • $n(a+b)=na+nb$
  • $(n+m)a=na+ma$

而類似地如果把多次相加改成多次相乘，那麼可以定義冪運算：

$$a^{n}:=\underbrace {a\times a\times \cdots a} _{n{\text{ 次}}}\qquad a^{-n}:=\underbrace {a^{-1}\times a^{-1}\times \cdots a^{-1}} _{n{\text{ 次}}}\qquad a^{0}:=1_{R}$$

• 二項式展開——如果 $ab=ba$ ，那麼它們總和的次方可以這樣計算：
  $$(a+b)^{n}=a^{n}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b+{\binom {n}{2}}a^{n-2}b^{2}+\cdots +{\binom {n}{n-2}}a^{2}b^{n-2}+{\binom {n}{n-1}}ab^{n-1}+b^{n}=\sum _{i+j=n}{\frac {n!}{(i!)(j!)}}a^{i}b^{j}$$
  這可以推廣到多個元素 $a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}$ 總和的次方——如果任兩個元素的 $a_{i}$ 和 $a_{j}$ 的乘法都可以交換（即 $a_{i}a_{j}=a_{j}a_{i}$ ），那麼：
  $$(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m})^{n}=\sum _{i_{1}+i_{2}+\cdots +i_{m}=n}{\frac {n!}{(i_{1}!)(i_{2}!)\cdots (i_{n}!)}}a_{1}^{i_{1}}a_{2}^{i_{2}}\cdots a_{m}^{i_{m}}$$

基本的相關概念

特殊的環元素

在初等環論中，以下四類型的環元素在任意的環中都有定義，它們是經常被討論的對象：

• 可逆元（ Unit 或 Invertible element ）：有乘法反元素的環元素。
• 零因子（ Zero divisor ）：相乘後為零的非零元素；相當於「零的因數」。
• 冪零元（ Nilpotent ）：自乘多次後變成零的環元素。
• 冪等元（ Idempotent ）：自乘任意多次都不變的環元素。

環同態、核、像

主条目：环同态

在環論中，環同態描述了環與環之間的關係。一個從環 $R$ 送往環 $S$ 的環同態（ Ring homomorphism ）$f:R\to S$ 簡單來說是一種「維持環結構」的映射；而具體來說，$f$ 要具有以下三個性質：

• 維持加法的結構——對所有的 $a,b\in R$ ，都有：
  $$f(a+b)=f(a)f(b)$$
• 維持乘法的結構——對所有的 $a,b\in R$ ，都有：
  $$f(ab)=f(a)(b)$$
• 維持單位元的結構——也就是：
  $$f(1_{R})=1_{S}$$

對一個環同態 $f$ 來說，有以下兩個密切相關的概念：

• 核（ Kernel ）——送到零元素的那些元素：
  $$\mathrm {Ker} (f):=f^{-1}(0_{S})=\{a\in R\mid f(a)=0_{S}\}\subseteq R$$
• 像（ Image ）——把元素都送過去後的結果：
  $$\mathrm {Im} (f):=f(R)=\{f(a)\in S\mid a\in R\}\subseteq S$$

子環、（雙邊）理想、商環

主条目：理想 (环论)、商環和子環

給定一個環 $R$ ，我們可以考慮它的：

• 子環（ Subring ）——某個送往 $R$ 的環同態在$R$ 內的像。

• 雙邊理想（ Two side ideal ）——某個定義在$R$ 上的環同態的核。
• 商環（ Quotient ）——（同構意義下）某個定義在$R$ 上的環同態的像。

一個環的環同態、子環、雙邊理想、商環共同刻劃了環的結構。

具有額外性質的環

交換環（ commutative ring ）

如果一個環 $R$ 還額外滿足：

乘法的交換律：對於所有 ${\textstyle a,b\in R}$：

$$a\times b=b\times a$$

則稱 $R$ 是一個交換環。交換環是最被深入研究的一類環，其中包括以下幾類：

• 整環（ Integral domain ）：沒有零因子的交換環。
• 唯一分解整環（ Unique factorization domain ）：可以唯一分解任何元素的整環。
• 主理想整環（ Principal ideal domain ）：所有理想都是主理想的整環。
• 歐幾里得整環（ Euclidean domain ）：可以進行歐幾里得演算法（輾轉相除法）的整環。
• 體（ Field ）：非零元素都有乘法反元素的交換環。
• 代數閉體（ Algebraically closed field ）：所有多項式都有根的體。

非交換環

所謂的非交換環實際上是指「不假設是交換環」的環，這樣子的環有：

• 除環（ Division ring ）：非零元素都有乘法反元素的環（可能不交換）。
• 單環（ Simple ring ）：沒有非平凡雙邊理想的環。

從已知的環建構出其他環的方式

直積

主条目：環的直積

給定數個環 $R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}$ ，可以考慮這些環作為集合的笛卡爾積：

$$\prod _{i=1}^{n}R_{i}:=R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{n}=\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\mid a_{1}\in R_{1},a_{2}\in R_{2},\dots ,a_{n}\in R_{n}\}$$

可以在這個集合上用以下方式定義加法和乘法：

$$(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}):=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ,a_{n}+b_{n})$$

$$(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\times (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}):=(a_{1}\times b_{1},a_{2}\times b_{2},\dots ,a_{n}\times b_{n})$$

這使得$\prod _{i=1}^{n}R_{i}$構成一個環。稱為 $R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}$ 的直積（ Direct product ）；它的法單位元是 $(0_{R_{1}},0_{R_{2}},\dots ,0_{R_{n}})$ 乘法單位元是 $(1_{R_{1}},1_{R_{2}},\dots ,1_{R_{n}})$

這種概念可以推廣到無限多個環、甚至不可數多個環的直積。

多項式環

主条目：多项式环

給定一個環 $R$ ，可以考慮以這個環作為係數的多項式：

$$R[x]:=\left\{\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}~{\Bigg |}~a_{i}\in R,n=1,2,3,\dots \right\}$$

可以仿照一般的實係數多項式運算規則，為這個集合定義加法和乘法：

$$\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}\right):=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})x^{i}$$

$$\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)\times \left(\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}\right):=\sum _{i=0}^{n+m}\left(\sum _{j=0}^{i}a_{j}b_{i-j}\right)x^{i}$$

在這樣的運算規則下， $R[x]$ 被稱為是 $R$ 的多項式環；它的加法單位元以及乘法單位元與 $R$ 相同。

矩陣環

主条目：矩阵环和方块矩阵

給定一個環 $R$ ，可以考慮以這個環作為係數、大小為 $n\times n$ 的矩陣：

$$\mathbf {M} _{n}(R):=\left\{{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}~{\bigg |}~a_{i,j}\in R,\quad i,j=1,2,\dots ,n\right\}$$

同樣可以仿照一般的矩陣運算規則，為這個集合定義加法和乘法：

$${\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}+{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots &b_{1,n}\\b_{2,1}&b_{2,2}&\dots &b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&b_{n,2}&\dots &b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}:={\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1}&a_{1,2}+b_{1,2}&\dots &a_{1,n}+b_{1,n}\\a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2}+b_{2,2}&\dots &a_{2,n}+b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}+b_{n,1}&a_{n,2}+b_{n,2}&\dots &a_{n,n}+b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}$$

$${\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}\times {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots &b_{1,n}\\b_{2,1}&b_{2,2}&\dots &b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&b_{n,2}&\dots &b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}:={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,1}&\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,2}&\dots &\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,n}\\\sum _{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,1}&\sum _{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,2}&\dots &\sum _{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,1}&\sum _{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,2}&\dots &\sum _{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}$$

那麼 $\mathbf {M} _{n}(R)$ 在這樣的運算規則下，構成一個環。它的加法單位元是單位矩陣 ：

$$\mathrm {I} _{n}:={\begin{bmatrix}1_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\0_{R}&1_{R}&\dots &0_{R}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{R}&0_{R}&\dots &1_{R}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}$$

乘法單位元則是零矩陣 ：

$$\mathbf {0} _{n}:={\begin{bmatrix}0_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\0_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}$$

同樣的，可以考慮任何環 $R$ 的矩陣環 $\mathbf {M} _{n}(R)$ 。矩陣環也是典型的非交換環。

局部化與分式體

主条目：環的局部化

局部化的概念並不是對任何的環都有效，在大多數時候，只會考慮交換環的局部化。粗略地說，局部化是「加入某些元素的乘法反元素」；而分式體則是透過「加入所有非零元素的乘法反元素」來定義。分式體最著名的例子就是從整數構造有理數的過程。

更抽象地講，一個環對某些元素的局部化是「使得這些元素可逆的、最小的環」；在這種意義下，分式體就是「使得非零元素可逆的、最小的環」。而這個概念實際上就是——「包含這個環的最小的體」。

交換環與代數幾何的關係

交換環是乘法滿足交換律的環。這種環和代數幾何有著深遠的關聯性，體現在交換環範疇 $\mathbf {CRing}$ 和仿射概形範疇 $\mathbf {AffSch}$ 有著如下對偶性：

$$\mathbf {CRing} ^{\mathrm {op} }\cong \mathbf {AffSch}$$

這種對偶性使得交換環的代數性質可以轉換成仿射概形的幾何性質。

參見

• 模
• 理想
• 代數
• 偽環

參考文獻

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不要求「環」要有乘法單位元的文獻

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外部連結

• https://ringtheory.herokuapp.com/
• https://encyclopediaofmath.org/wiki/Ring
• https://mathworld.wolfram.com/Ring.html
• https://ncatlab.org/nlab/show/ring