Lindenmayer系統,簡稱L系統,是由荷蘭烏特勒支大學的生物學和植物學家,匈牙利裔的阿里斯蒂德·林登麥伊爾(Aristid Lindenmayer)於1968年提出的有關生長發展中的細胞交互作用的數學模型,尤其被廣泛應用於植物生長過程的研究。

使用 L-系統 生成的 3D 雜草

L-system是一系列不同形式的正規語法規則,多被用於植物生長過程建模,但是也被用於模擬各種生物體的形態。L-system也能用於生成自相似的分形,例如迭代函數系統。

起源

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作為一位生物學家,Lindenmayer工作的內容是酵母菌絲狀真菌,並研究多種類型的海藻的生長模式,例如藍綠細菌項圈藻Anabaena catenula,淡水藻類的一種)。最初,L系統被設計成用於提供一種關於簡單多細胞生物體生長的正規描述,並且試圖證明植物細胞之間的緊密關係。不久以後,這個系統被擴展成描述高等植物及其複雜枝杈結構。

L-system 結構

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L-system的自然遞歸規則導致自相似性,也因此使得分形一類形式可以很容易的使用L-system描述。植物模型和自然界的有機結構生成,非常相似並很容易被定義,因此通過增加遞歸的層數,可以緩慢生長並逐漸變得更複雜。L-system同樣在製造人造生命領域。 L-system 語法與Chomsky語法非常相似,說到L-system通常指的是帶參數的L-system,定義如下:

G={V,S,ω,P},

V:變量符號集合

S:常量符號集合

ω:初始狀態串

P:產生式規則

自初始狀態開始迭代套入L-system的文法規則,和正規文法所產生的語言不同處在於,L-system在一次迭代中可同時套用許多不同的文法規則。如果在一次迭代中只能夠套用一個文法規則,產生出來的結果被稱為語言而不是L-system。由此可知,L-system為正規文法所產生出的語言的子集合。

L系統的例子

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例1:海藻的生長

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Lindenmayer研究海藻生長模式時提出的最早的L-系統:

變量 : A B
常量 : 無
公理  : A
規則  : (A → AB), (B → A)

迭代過程:

n = 0 : A
n = 1 : AB
n = 2 : ABA
n = 3 : ABAAB
n = 4 : ABAABABA
n = 5 : ABAABABAABAAB
n = 6 : ABAABABAABAABABAABABA
n = 7 : ABAABABAABAABABAABABAABAABABAABAAB

例1的解釋

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n=0:         A           开始 (公理/起始点)
            / \
n=1:       A   B         根据规则(A → AB)起始点A拓展成AB,由于起始点没有B,规则(B → A)没有被用到
          /|    \
n=2:     A B     A       AB中的A拓展成AB,B变成A,于是得到了ABA
        /| |     |\
n=3:   A B A     A B     可以看到每个A都是一个新的子树的根,由此引发出和整体结构同构的子结构。
      /| | |\    |\ \
n=4: A B A A B   A B A   

如果我們觀察這個序列的長度就會發現這是一個斐波那契數列—— 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ... (因為我們選擇從A開始,故第一個1少掉了) 如果我們把A看成一隻成年兔子,B看成未成年兔子,那麼這個構造和那個著名的兔生兔的構造是一致的。 即每個月B會成長成A,而A每個月又會生出一個B。

開放問題

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許多涉及L-systems研究的問題有待解決,比如:

  • 描述所有那些確定的局部連鎖的上下文無關L-systems(目前已知完成解決的只有包含兩個變量的這一種情況)。
  • 給定一個結構,找出生成此結構的L-systems文法。

參考文獻

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外部連結

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參見

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