在抽象幾何學中,立方體半形是一種僅由一半數量的立方體面構成的抽象多面體。這個抽象多面體與立方體類似,它們的每個頂點都是3個正方形的公共頂點,然而立方體有6個面,而立方體半形僅有3個面;同時,這個立體無法嵌入在三維歐幾里得空間中[2]。在拓樸學上,其可以視為正四面體皮特里對偶[3]

立方體半形
立方體半形
類別抽象多胞形英語Abstract polytope
射影多面體英語projective polyhedron
對偶多面體八面體半形[1]
原像立方體半形體
名稱立方體半形
hemicube
數學表示法
施萊夫利符號{4,3}/2
{4,3}3
性質
3
6
頂點4
歐拉特徵數F=3, E=6, V=4 (χ=1)
組成與佈局
面的種類正方形
頂點圖4.4.4
對稱性
對稱群S4, 24階
特性
不可定向歐拉示性數為1
圖像

4.4.4
頂點圖

八面體半形[1]
對偶多面體

性質

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立方體半形由3個、6條和4個頂點組成,每個面都是正方形,且每個頂點都是3個正方形的公共頂點,在施萊夫利符號中可以用{4,3}/2或{4,3}3來表示,其中{4,3}代表且每個頂點都是3個正方形的公共頂點[4],然而{4,3}代表正常的立方體,即正六面體,因此用「/2」符號來表示所有元素都僅有立方體的一半數量[5][6]

 

立方體半形的對偶多面體為正八面體半形,這個在更高維度的類比結構中同樣成立,即 維超方形半形(施萊夫利符號 )的對偶多胞形為 維正軸形半形(施萊夫利符號: )。[5][6]

特別地,這個立體的每個面皆與相鄰面共用2條邊,且每個面都包含了立體中所有頂點。一般而言,多胞形的面可以透過其點集來決定[7],也就是說,一般不會存在2個相異面點集合相同的情況,因此這個立體是面無法僅從點集來確定的抽象多面體的例子之一。

 

構造

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立方體半形可從有公共頂點的半個立方體(即三個面,下圖的I、II、III)開始構造。此形狀的邊界為一個六邊形,然後下一步是將此六條邊分成三組對邊(下圖的4、5、6),將每對邊(沿同一方向,例如順時針)黏合,就得到立方體半形[4]。這樣的構建方式使用了正四面體的骨架[8],同時其構成的面不會共面[4],其與正四面體的皮特里多邊形相同,其骨架在圖論中對應到四面體圖,可以視為K4完全圖嵌入於射影平面上的結果。[4]

 
立方體半形
 
K4完全圖
 
皮特里四面體

具象化

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立方體半形可被視為是射影多面體英語projective polyhedron (可視為由三個四邊形構成的實射影平面鑲嵌[9]。要將其視覺化,可以透過將射影平面構築為一個半球體,並過半球體的邊界連接對蹠點,同時確保連接的部分能將半球體平均分割成三等份。

立方體半形和半立方體不同,立方體半形是一個射影多面體英語projective polyhedron,且無法嵌入在三維歐幾里得空間中[2];而半立方體是一個位於三維歐幾里德空間中的普通多面體。 雖然它們的頂點數皆為立方體的一半,立方體半形可以視為立方體的商空間,而立方體則不是,半立方體只有頂點為立方體頂點的子集

皮特里四面體

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皮特里四面體
 
以不同顏色表示每個面
類別皮特里對偶
正則地區圖
對偶多面體八面體半形
數學表示法
施萊夫利符號{3,3}π
{4,3}3
性質
3
6
頂點4
歐拉特徵數F=3, E=6, V=4 (χ=1)
二面角(不存在)
對稱性
對稱群Td, [3,3], *332
特性
扭歪正則

皮特里四面體是正四面體皮特里對偶[1][10]。在拓樸學上,這個結構與立方體半形同構,並可以視為立方體半形的一種具象化方式[4]。相對的立方體半形的皮特里對偶為正四面體,這意味著其皮特里多邊形可以與半立方體(此例對應正四面體)的面對應[11]。也就是說,立方體半形和正四面體互為皮特里對偶[1][10]

皮特里四面體由3個面、6條邊和4個頂點組成,其中,3個面皆為正四面體皮特里多邊形正四面體皮特里多邊形是一個扭歪四邊形。[12]由於皮特里四面體由扭歪四邊形組成[13],因此無法確立其封閉範圍,故無法計算其表面積和體積。[14]

皮特里四面體是一個不可定向且歐拉示性數為1的幾何結構[1]

 
正四面體皮特里多邊形
 
構成皮特里立方體的扭歪四邊形

皮特里四面體的頂點、邊和面數皆為立方體的一半,因此皮特里四面體可以被立方體(的表面)二重覆蓋[1]。皮特里四面體的對偶多面體為八面體半形[1]。皮特里四面體可以截半截半立方體半形[1][15]

 
皮特里四面體
 
以正則地區圖表示的皮特里四面體
 
皮特里四面體的對偶多面體以正則地區圖表示

相關多面體

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立方體半形是正多面體的半形體之一,其他也是正多面體的半形之結構有[6]

 
立方體半形
 
八面體半形
 
十二面體半形
 
二十面體半形

立方體半形與皮特里四面體拓樸同構,其可以視為是正多面體的皮特里對偶之一。其他也是正多面體的皮特里對偶之幾何結構有:[16]

 
皮特里四面體
 
皮特里立方體
 
皮特里八面體
 
皮特里十二面體
 
皮特里二十面體

參考資料

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 The hemicube. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始內容存檔於2019-05-02). 
  2. ^ 2.0 2.1 Mark Mixer. Introduction to abstract polytopes (PDF). Northeastern University. 2009-05-19 [2021-07-31]. (原始內容 (PDF)存檔於2021-08-06). 
  3. ^ Pellicer, D, Gráficas cpr y polytopos abstractos regulares (PDF), Universidad Nacional Autónoma de México, Mexico City, Mexico, 2007 [2021-07-31], (原始內容 (PDF)存檔於2021-08-06) 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Séquin, Carlo H and Lanier, Jaron. Hyperseeing the regular Hendecachoron. Proc ISAMA. 2007: 159–166 [2021-08-04]. (原始內容存檔於2021-08-04). 
  5. ^ 5.0 5.1 Hartley, Michael I. The Classification of Rank 4 Locally Projective Polytopes and Their Quotients (PDF). arXiv preprint math/0310429. 2003 [2021-07-31]. (原始內容 (PDF)存檔於2021-08-06). 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 McMullen, Peter; Schulte, Egon, 6C. Projective Regular Polytopes, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press: 162–165, December 2002, ISBN 0-521-81496-0 
  7. ^ Kaibel, Volker and Pfetsch, Marc E. Computing the face lattice of a polytope from its vertex-facet incidences (PDF). Computational Geometry (Elsevier). 2002, 23 (3): 281–290 [2021-07-31]. (原始內容 (PDF)存檔於2021-08-06). 
  8. ^ Carlo H. Séquin. Sculpture designs and math models. University of California, Berkeley. [2021-07-31]. (原始內容存檔於2021-10-22). "Ribbed Hemicube" (June 2007) - 5" 
  9. ^ Helfand, Ilanit, Constructions of k-orbit Abstract Polytopes, Northeastern University, 2013 
  10. ^ 10.0 10.1 The tetrahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始內容存檔於2021-08-23). 
  11. ^ Bracho, Javier and Hubard, Isabel and Pellicer, Daniel. A Finite Chiral 4-Polytope in  . Discrete & Computational Geometry (Springer). 2014, 52 (4): 799––805. 
  12. ^ Gorini, Catherine A., Geometry at Work, MAA Notes 53, Cambridge University Press: 181, 2000, ISBN 9780883851647 
  13. ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 92, Cambridge University Press: 192, 2002, ISBN 9780521814966 
  14. ^ Barnard, L., Aro -- Healing Touching Lives -- Theories, Techniques and Therapies: The Techniques and Therapies of Aro-Healing, Xlibris UK, 2014 [2021-07-31], ISBN 9781483631646, (原始內容存檔於2021-07-31) 
  15. ^ Hemi-cuboctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始內容存檔於2021-01-26). 
  16. ^ Regular maps in the orientable surface of genus 0. Regular Map database - map details. [2021-07-31]. (原始內容存檔於2021-10-19). 

外部連結

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