波爾文積分

波爾文積分（英語：Borwein integral）是一種由波爾文父子發現的性質特殊的積分，常用於作為看似存在的數學規律最終失效的例子。2001年，大衛·波爾文和喬納森·波爾文共同發表了這個涉及sinc函數的積分。

常見的例子為：

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

這種規律一直到

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.$

都是成立的。

但是到了下一個數，這個規律就突然失效了：

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}$

公式

對於給定的一系列非零實數，即$a_{0},a_{1},a_{2}\cdots$，可以給出$\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\mathrm {d} x$的封閉公式形式。為了計算這個公式，其中需要做的就是計算含有$a_{k}$相關的量之和。特別的，設$\gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\cdots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}$即由$\pm 1$構成的$n$元組，於是可以寫成$b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}$即有關$a_{k}$的各種加減形式的總和，並且令$\varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}$（其結果為$\pm 1$）。基於上述定義，可以得到該積分的值為：

$\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2a_{0}}}\cdot C_{n}$

其中：

$C_{n}={\frac {1}{2^{n}\cdot n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\cdot \sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn} (b_{n})$

在這裡如果$a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|$，那麼有$C_{n}=1$。

進一步地，如果存在一個$n$對於每個$k=0,\cdots ,n-1$總有$0<a_{n}<2a_{k}$成立，並且有$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$，即$n$為首次超過$a_{0}$的前幾項之和時的元素數量，即當$k=0,\cdots ,n-1$時有$C_{k}=1$，但在其他情況時：

$C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}\cdot n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}$

在這裡令$a_{k}={\frac {1}{2k+1}}$，即當$n=7$時$a_{7}={\frac {1}{15}}$，此時${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955$但是${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02$，又由於$a_{0}=1$，於是該公式成立（並且移去其中任何因子也成立）：

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\cdot {\frac {\sin {\frac {x}{3}}}{\frac {x}{3}}}\cdots {\frac {\sin {\frac {x}{13}}}{\frac {x}{13}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}$

但在另一方面，則有：

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\cdot {\frac {\sin {\frac {x}{3}}}{\frac {x}{3}}}\cdots {\frac {\sin {\frac {x}{15}}}{\frac {x}{15}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\left[1-{\frac {\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}-1\right)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)^{-1}}}\right]$

即與前面給出的公式的結果相同。