正4294967295邊形

正4294967295邊形是目前已知最大奇數可作圖多邊形。其內角和角度為773,094,112,740度,對角線則有9,223,372,026,117,357,570條。

正四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五邊形
類型正多邊形
對偶正四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五邊形(本身)
4294967295
頂點4294967295
對角線9223372026117357570
施萊夫利符號{4294967295}
考克斯特符號英語Coxeter–Dynkin diagramnode_1 4 2x 9 4 9 6 7 2x 9 5 node 
對稱群二面體群 (D4294967295), order 2×4294967295
面積
內角 o
179.99999991618°
內角和773094112740°
特性圓內接多邊形等邊多邊形等角多邊形等邊圖形

特別地,正4294967295邊形可以尺規作圖(僅用直尺和圓規來作圖)來完成。可以用尺規作圖的多邊形有無數個,只要是某些奇數的2次方倍的邊數的多邊形都可以尺規作圖,然而奇數邊數多邊形已知能夠尺規作圖的邊數只有31個,而正4294967295邊形的邊數是這些多邊形當中最大的邊數。這31個奇數邊數可以可作圖多邊形的邊數為3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295(OEIS數列A045544)。

性質

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正4294967295邊形的邊數非常的多,幾乎無法使其和一個正圓形區分開來。正4294967295邊形的中心角的角度非常小,只有:

 

半徑為1的圓內接正4294967295邊形面積為:

 

其與圓的面積非常接近,這個數值也與圓周率非常接近,其中的17個位數完全與圓周率相同。其一個邊的邊長為:

 

這個多邊形幾乎無法和圓形區分開來。舉例來說,半徑為1000千米的圓內接正4294967295邊形,其邊長略低於1.5毫米。 此外,假設地球是一個半徑為6378千米的完美球體,並考慮內接於大圓(例如赤道)的正4294967295邊形,則其邊長略低於1厘米。

可作圖性

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4294967295是

 

它的素數分解是

 

是所有已知費馬素數的乘積。卡爾·弗里德里希·高斯證明了正n邊形可作圖的充分必要條件是n是相異費馬素數的乘積與2的冪的乘積,即:

  為相異費馬素數, 為非負整數)

因此,如果不存在大於65537的費馬素數的猜想是正確的,那麼正4294967295邊形就是邊數最多的可作圖正奇數邊數多邊形。[1][2][3]

參考資料

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  1. ^ Falko Lorenz, 2006, Algebra: Volume I: Fields and Galois Theory, p. 105. ISBN 9780387316086.
  2. ^ Edward A. Bender, S. Gill Williamson, 2005, A Short Course in Discrete Mathematics, p. 43. ISBN 9780486439464.
  3. ^ John Horton Conway, Richard Guy, 1998, The Book of Numbers, p. 140. ISBN 9780387979939.

參考書籍

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