在數學中,有許多對數恆等式。
對數可以用來簡化計算。例如,兩個數可以只通過查表和相加而得到乘積。
同底的對數和指數會彼此消去。這是因為對數和指數是互逆運算(就像乘法和除法那樣)。
在計算器上計算對數時需要用到這個公式。例如,大多數計算器有ln和log10的按鈕,但卻沒有 log 2 {\displaystyle \log _{2}} 的。要計算 log 2 ( 3 ) {\displaystyle \log _{2}(3)} ,只有計算 log 10 ( 3 ) log 10 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {\log _{10}(3)}{\log _{10}(2)}}} [註 1]。
這個公式有許多推論:
π ( n ) {\displaystyle {\pi (n)}} 是下標 1 , … , n {\displaystyle 1,\ldots ,n} 的任意的排列。例如
下面的和/差規則對概率論中的對數化概率的計算非常有用:
注意 log b ( 0 ) {\displaystyle \log _{b}(0)\!\,} 無定義,因為沒有一個數 x {\displaystyle x\!\,} 使 b x = 0 {\displaystyle b^{x}=0\!\,} 成立。
最後一個極限經常被總結為「 x {\displaystyle x} 的對數增長得比 x {\displaystyle x} 的任何次方或方根都慢」。[註 3]
為了記憶積分,可以方便的定義:
於是,
對數恆等式可以用來求大數的近似數。 假設我們要得到第44個梅森質數 2 32582657 − 1 {\displaystyle 2^{32582657}-1} 的近似值。先取對數( − 1 {\displaystyle -1} 被忽略), 2 32582657 {\displaystyle 2^{32582657}} 以10為底的對數等於 32,582,657 與 log 10 ( 2 ) {\displaystyle \log _{10}(2)} 的乘積,計算得到 9808357.09543 = 9808357 + 0.09543 {\displaystyle 9808357.09543=9808357+0.09543} 。再取指數消去對數,得到最後結果為 10 9808357 × 10 0.09543 ≈ 1.25 × 10 9808357 {\displaystyle 10^{9808357}\times 10^{0.09543}\approx 1.25\times 10^{9808357}} .
類似地,階乘的結果可以用每項的對數之和來近似。