數學中,單位圓(英語:Unit circle)是指半徑單位長度的,通常為歐幾里得平面直角坐標系圓心、半徑為1的圓。單位圓對於三角函數和複數的坐標化表示有著重要意義。單位圓通常表示為S1。多維空間中,單位圓可推廣為單位球

Unit circle
單位圓。變量

如果單位圓上的點位於第一象限,那麼斜邊長度為1的直角三角形的兩條邊,根據勾股定理滿足方程

由於對於所有的來說,並且所有這些點相對於x軸或者y軸的反射點也都位於單位圓上,因此單位圓上的所有點都滿足上面的方程。

單位圓與三角函數

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事實上,不僅僅是正弦與餘弦,而且所有六個標準三角函數—正弦(sin)、餘弦(cos)、正切(tan)、餘切(cot)、正割(sec)、餘割(csc)以及不常用的正矢(versin)和其相關函數外正割(exsec)、外餘割(excsc)和歷史上曾存在的弦函數(crd)—都可以在單位圓表示出來。

在直角三角形中,正弦、餘弦以及其它三角函數只有當角度大於0且小於 時才有意義。但是,在單位圓上,對於任意的實數角度,這些函數都有直觀的意義。

 
角度  所有三角函數都可以在圓心為 的單位圓上表示出來

 是單位圓上的一個點。設角 的起始邊為x軸的正方向,角度按照逆時針方向測量。那麼角t的終邊和單位圓會有一個交點。因此:

 
 

另外,從 可以得到

 

從這裡還可以直觀地看出正弦函數與餘弦函數都是周期函數,對於任意的整數 恆等式

 
 
 
單位圓上已知準確座標的點

這些恆等式的依據是在角度   增加任意圈數或者減小任意圈數的時候xy坐標保持不變。一圈  弧度

複數的圓群

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複數也可以用歐幾里得平面內的點來表示,  表示為 。在這種表示下,單位圓是不斷增加的,在數學以及科學領域這個群有很重要的應用。

參見

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