數學上,協變導數或稱共變導數是在流形上定義沿著向量場導數的方法之一。

事實上,除了引入的風格不同之外,協變導數和聯絡沒有實質上的區別。

黎曼偽黎曼流形理論中,協變導數通常指列維-奇維塔聯絡

這裡,我們給出一個向量相對於向量場的協變導數(也稱為張量導數)的傳統的帶指標記號的簡介;張量的協變導數是同一概念的推廣。

本條目中,我們使用愛因斯坦記號。我們假設讀者熟悉微分流形的概念特別是關於切向量的概念。

一般概念

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向量u的沿著向量v協變導數   (也寫作D)是一個定義第三個稱為  (也作 Dvu)的向量的規則,它有如下面所述的導數的屬性。向量是一個幾何對象,和所選基(坐標系統)無關。固定一個坐標系之後,這個導數和向量基自身的變換規則相同(共變變換),所以有這個名字。

歐幾里得空間的情形,如果有一個標準正交坐標系,一般會用兩個相近的點的兩個向量的差來定義向量場的導數。

在這樣的系統中,平移其中一個向量到另一個的原點,保持和原來的向量平行。這樣得到的歐氏空間的協變導數可以取每個分量的導數。

但是在一般情況,我們必須把坐標系的變化考慮在內。在彎曲空間中,例如地球表面(作為一個球面),平移沒有嚴謹的定義,而和它相似的概念,平行移動,依賴於向量被平移的路徑。例如,在二維歐幾里得平面極坐標中,導數包含了額外的項用於表述坐標格點自身如何「轉動」。在其他的情況下,還有額外的項描述坐標格點如何擴張,收縮,扭轉,交織,等等。

這是一個二維歐氏空間中的極坐標中的曲線的一個例子。在曲線參數 t 的向量(比如說加速度,不在圖中)可以表達在坐標系 中,其中  是極坐標中的單位切向量,用作把一個向量分解為在輻向和切向分量的基底。稍後,極坐標的新基底會相對於第一套基底稍有轉動。基向量的協變導數(克里斯托費爾符號可以表達這個變化)。

(可能最好不要把t看作時間參數,至少在廣義相對論的應用中不要這樣。它只是一個任意參數沿著路徑光滑而單調的變化。)

另一個例子:向量e在球上位於赤道上的一點Q,方向朝北。假設我們首先沿著赤道平行移動該向量直到P(然後保持它和自己平行))著子午線把它拖到北極N然後(保持方向)繼續沿著另一條子午線移動它回到Q。然後我們注意到沿著封閉迴路平行移動的向量不會回到原來的向量;它會變成另外一個方向。這在歐氏空間不會發生,它發生的原因是球的曲面上的曲率。如果我們沿著無窮小閉曲面依次沿著兩個不同方向然後返回,我們會看到同樣的現象。向量的無窮小變化是曲率的一個測量。

備註

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定義中的向量 uv 是定義在同一點 p 的。而且協變導數 也是 p 的一個向量。

協變導數的定義不用空間的度量。但是,一個給定的度量唯一的確定了一個特殊的協變導數,稱為列維-奇維塔聯絡

導數的性質暗示者 依賴於p周圍的情況,就像純量函數在一點p沿著曲線的導數依賴於p點周圍一樣。

在協變導數中關於點 p 圍的信息可以用來定義向量的平行移動。而且曲率撓率測地線也可以只用協變導數來定義。

偶爾,術語「協變導數」指一個一般向量叢沿著基空間的一個切向量截面的導數;參看「聯絡形式」中的「向量叢」的有關章節。

形式化定義

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函數

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給定流形 上一點 和其上一個實函數   點沿 的共邊導數是一個定義在 處的純量,記為  等於實函數  處沿向量v方向的通常導數, 也可以記為  或者 

向量場

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向量場  在向量 方向的協變導數  記為  對任意向量場 u, v, w 和純量函數fg由下列性質定義:

  1.   對於  代數式線性所以 
  2.   對於 可加,所以 
  3.   遵守乘積法則, 也就是說   其中  如前所定義。

注意 在點p依賴於vp點的值以及up的一個鄰域的值,因為最有一個性質乘積法則的要求。這表示協變導數不是一個張量。

餘向量場

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給定餘向量場(或者說1-形式)  ,其協變導數   可以用下邊的對於所有向量場u都滿足的恆等式來定義

 

餘向量場沿著一個向量場v的協變導數還是一個餘向量場。

張量場

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一旦定義了向量和余向量場的協變導數,它就可以定義到任一張量場上,這要用如下的恆等式,其中  是任意兩個張量:

 

並且,若  是同一個張量叢的張量場,則

 

沿著向量場v的協變導數也還是同類型的張量場。

坐標表示

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給定坐標函數 ,任何切向量都可以用它的在基 中的分量表示。 協變導數是一個向量,所以可以表示為基向量的線性組合Γkek,其中Γk 是分量(參看愛因斯坦記號)。 要給定協變導數,給定每個基向量場ej 沿著ei的協變導數就可以了

 

係數 稱為克里斯托費爾符號。 然後使用定義中的規則,我們發現對於一般的向量場   and   可以得到

 

這個公式的第一項代表了坐標系對於協變導數的"扭轉",而第二項代表了向量場u的分量的變化。特別的有

 

用語言描述的話: 協變導數是一般的沿著坐標的導數加上關於坐標改變的校正項。在物理教科書中,協變導數有時只用這個方程中的分量形式表述。

一個常用的記法是,用一個分號表示協變導數,而用一個逗號表示普通導數。在這個記號下,我們把同樣的公式寫作::

 

這再次表明了向量場的協變導數不僅僅是從沿著坐標的微分中得到  ,而且是通過 依賴於向量v本身的。

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