數論中,幾何數論(英語:Geometry of numbers)研究凸體和在n空間整數點向量問題。幾何數論於1910由赫爾曼·閔可夫斯基創立。幾何數論和數學其它領域有密切的關係,尤其研究在泛函分析丟番圖逼近中,對有理數無理數逼近問題。[1]

閔可夫斯基的結果

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  • 閔可夫斯基定理,有時也被稱為閔可夫斯基第一定理:
假設Γ是在n歐氏空間RnK是中心對稱凸體  ,則K包含Γ非零的向量。
  • 閔可夫斯基第二定理,是他的第一定理加強。定義K數字λ最大下界,為 λk,稱為連續最低。

則λK在Γ中ķ線性無關,則有:

 

近現代幾何數論研究

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在1930年至1960年的很多數論學家取得了很多成果(包括路易·莫德爾哈羅德·達文波特卡爾·路德維希·西格爾)。近年來,Lenstra,奧比昂,巴爾維諾克對組合理論的擴展對一些凸體的格數量進行了列舉。

  • 施密特子空間定理
  • 在幾何數論的子空間定理,由沃爾夫岡·施密特在1972年證明
  • n是正整數,如果nn維線性型L1,...,Ln都具有代數係數,並且是線性無關的,那麼對於任何給定的實數ε> 0,所有滿足條件:   的n維非零整數點x都在有限多個Qn的真子空間內。

對泛函分析的影響

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始於閔可夫斯基的幾何數論在泛函分析上產生深遠的影響。閔可夫斯基證明,對稱凸體誘導有限維向量空間範數。閔可夫斯基定理由柯爾莫哥洛夫推廣到拓撲向量空間。柯爾莫哥洛夫的定理證明有界閉對稱凸集生成Banach空間拓撲。當前Kalton et alia. Gardner對星形集非凸集取得了一些成果。

參考文獻

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  1. ^ Schmidt's books. Grötschel et alia, Lovász et alia, Lovász.

延伸閱讀

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