三角形內角的嵌入不等式

三角形內角的嵌入不等式平面幾何中的一個不等式。在不至於引起歧義的情況下簡稱嵌入不等式。該不等式指出,若ABC是一個三角形的三個內角,則對任意實數 x、y、z,有:

[1]

首先發現此不等式的是英國數學家約瑟夫·沃爾斯滕霍姆英語Joseph Wolstenholme。他在1867年出版的《數學問題集》一書中對嵌入不等式做出介紹[2]

證明

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注意到不等式:  對所有的實數 x、y、z以及任意角ABC成立,將其左側展開,就得到:

 
 
 

由於ABC是三角形內角, ,因此上式等價於

 

從證明中可推出,不等式中等號成立若且唯若  同時成立。也就是說,要麼 ,要麼 

推廣與加強

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從以上證明中可以看到,證明成立的關鍵是 ,所以可以將條件中的「ABC是三角形內角」推廣到「 」。而如果  ,則 ,展開恆成立的不等式  便可得到不等式

 

這個不等式和三角形內角的嵌入不等式可以合寫成一個不等式[1]

如果 ,那麼對任意實數x、y、z,都有 

由於三角形內角的嵌入不等式具有高度對稱性,在應用中也會寫成對稱下標不等式:

 

或輪換下標不等式:

 

 是三角形內角,對後一個不等式做變量代換

 

可以得到不等式[3]

 

由這個不等式可以推出嵌入不等式的另一種推廣:

 滿足   滿足  ,則有:
 

其中 。而當 的時候,上面的不等式轉化為:

 

嵌入不等式是此不等式在 時的特例[3]

應用

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三角形內角的嵌入不等式將代數不等式和幾何不等式結合起來[3]。運用嵌入不等式可以解決許多幾何不等式[1],例如以下是運用嵌入不等式證明埃爾德什-莫德爾不等式

 
 (紅)小於 (藍).

埃爾德什-莫德爾不等式是一個二十世紀初期發現的不等式,其聲稱:對於任何三角形和其內部的一點O,點O到三角形三條邊的距離之和總是小於或等於點O到三角形的三個頂點的距離之和的一半。下設這個三角形頂點 ,點O到這三個頂點的距離分別是 ,到它們對邊的距離分別是 ,則埃爾德什-莫德爾不等式寫作:

 

在嵌入不等式中令  則可得到:

 

另一方面,計算三角形 在O點發出的角平分線長度 ,可得

 

同時作為角平分線,其長度必然大於O點到 的距離 ,所以

 
 

因此

 [4]

等價形式

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 ,  ,  ,則有

 

等號成立若且唯若  [5][6][7]

證明

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推論

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對於  ,令  ,  ,  ,其中  ,即得

 

等號成立若且唯若  ,即  

一般形式

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若非零實數   滿足  ,則對任意實數   恆有

 

證明:

 

參見

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參考來源

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 朱華偉. 嵌入不等式——数学竞赛命题的一个宝藏. 中等數學. 2010年, (第1期): 第14–17頁. 
  2. ^ J. Wolstenholme, A Book of Mathematical Problems, Cambridge, London, 1867
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Shanhe Wu, Lokenath Debnath. Generalization of the Wolstenholme cyclic inequality and its application. Computers & Mathematics with Applications. 2007年1月, 53 (1): 104–114 [2012-06-01]. (原始內容存檔於2018-11-06). 
  4. ^ Marian Dinca. A Simple Proof Of The Erdos-Mordell Inequality For Polygons In N-Dimensional Spaces (PDF). Articole si Note Matematice. [2012-06-01]. (原始內容存檔 (PDF)於2016-08-15). 
  5. ^ 存档副本. [2023-04-28]. (原始內容存檔於2023-04-28). 
  6. ^ 存档副本. [2023-04-28]. (原始內容存檔於2023-04-28). 
  7. ^ 存档副本. [2023-04-28]. (原始內容存檔於2023-04-28).