数据挖掘统计学中,层次聚类(英语:Hierarchical clustering)是一种旨在建立聚类的层次结构的聚类分析方法。层次聚类的策略通常有两种:

  • 凝聚(Agglomerative clustering):一种自底向上方法,从小集群开始,逐渐将其合并,形成更大的集群;
  • 分裂(Divisive clustering):一种自顶向下方法,从单个集群开始,递归地将其拆分成更小的集群。

凝聚和分离的操作通常用贪心算法实现,结果通常用树状图展示。[1]

标准的凝聚层次聚类(Hierarchical agglomerative clustering,HAC)算法的时间复杂度为,空间复杂度为,这使它甚至难以应用于中等规模的数据集中。对于一些特殊情况,效率最优的算法(复杂度为)包括SLINK(用于单连接聚类,Single-linkage clustering)[2]和CLINK(用于全连接聚类,Complete-linkage clustering)[3]。当使用(Heap)时,一般情况下的时间复杂度降至,该改进以更多的内存需求为代价。这种改进方法的内存开销很多时候大到难以实际使用。

除了单连接聚类的特殊情况,除了穷举算法(复杂度)外,没有算法可以保证找到最优解。

使用穷举算法的分裂方法的复杂度为,不过可以通过更快的启发式方法(例如k-均值算法)进行分裂。

层次聚类的优点是可以采用任何有效的距离测量。当给定距离矩阵时,观测本身是没有必要的。

聚集层次聚类

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原始数据

本节将对上图所示的原始数据进行聚集层次聚类(Agglomerative clustering),采取欧几里得距离度量距离。

下图展示了聚类结果的树状图:

 
聚类结果

在给定高度切割树,会得到一个特定精度的聚类结果。例如,在从上往下数的第二行切割会得到四个集群:{a}、{b, c}、{d, e}和{f};在第三行切割会得到{a}、{b, c}、{d, e, f},相比之前,这是一个更粗糙(coarser)的聚类结果,集群的数量更少但集群更大。

该方法合并单独的元素形成集群并得到层次(Hierarchy)。本例有六个元素({a}、{b}、{c}、{d}、{e} 、{f}),第一步确定哪些元素合并到一个集群,判定标准通常是元素间的距离,选取两个最近的形成集群。

也可以在该步构建距离矩阵(矩阵的第i行第j列的数值为i-j元素之间的距离)。在聚类过程中,行、列被合并并形成新的距离。该方法为实现聚集层次聚类的通用方法,同时对缓存集群之间的距离有益。单连接聚类英语Single-linkage_clustering是一个简单的聚集层次聚类方法。

在完成对距离最短元素bc的合并后,形成的集群为:{a}、{b, c}、{d}、{e} 、{f},对其进行进一步的合并需要度量集群{a}和{b, c}之间的距离(即两个集群间的距离)。通常将集群  之间的距离定义为:

 
 
  • 两个集群的元素间的平均距离(又称平均连接聚类(Average linkage clustering),在UPGMA方法中有应用):
 
  • 所有聚类内方差的总和
  • 被合并的集群方差的增加量 (Ward法英语Ward%27s_method[4]
  • 候选聚类从同一分布函数生成的概率(V-linkage)

当若干对组合具有同样的距离且为最小时,可以随机选取一对形成集群(生成不同的树状图);也可以同时形成不同的集群(生成唯一的树状图)。[5]

聚类算法的停止准则可以取决于数量(当形成足够少的集群时停止);也可以取决于距离(当两个集群之间的距离足够远,以至于不能形成新集群时停止)。

分裂层次聚类

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DIANA(DIvisive ANAlysis Clustering)是分裂层次聚类的基础算法。[6] 首先,所有元素归属同一个集群,然后分裂集群,直到所有元素都独立成群。由于存在 种方法进行分裂,因此需要启发式(Heuristics)算法实现。DIANA选择平均异同度(Average dissimilarity)最大的元素,然后将所有与新集群相似度高于其余集群的元素划分到该集群。

软件

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开源软件

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  • ALGLIB用C++和C#实现了多种层次聚类算法
  • ELKI实现了多种层次聚类算法
  • Julia在Clustering.jl包中实现了层次聚类[7]
  • Octave(GNU对MATLAB的兼容实现)实现了层次聚类(函数linkage)
  • Orange(一个数据挖掘软件套件)实现了带有交互式树状图可视层次聚类
  • R有内置的函数和包[8],提供层次聚类的函数
  • SciPy在Python中实现了层次聚类
  • Scikit-learn也在Python中实现了层次聚类
  • Weka实现了层次聚类

商业软件

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  • MATLAB中有层次聚类分析
  • SAS在PROC CLUSTER中包含层次聚类分析
  • Mathematica有一个层次聚类包
  • NCSS中实现了层次聚类分析
  • SPSS中包括层次聚类分析
  • Qlucore Omics Explorer中包括分层聚类分析
  • Stata中包括层次聚类分析
  • CrimeStat中实现了近邻层次聚类算法

参考文献

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  1. ^ Nielsen, Frank. 8. Hierarchical Clustering. Introduction to HPC with MPI for Data Science. Springer. 2016: 195–211 [2023-03-05]. ISBN 978-3-319-21903-5. (原始内容存档于2021-04-17). 
  2. ^ Ward, Joe H. Hierarchical Grouping to Optimize an Objective Function. Journal of the American Statistical Association. 1963, 58 (301): 236–244. JSTOR 2282967. MR 0148188. doi:10.2307/2282967. 
  3. ^ Fernández, Alberto; Gómez, Sergio. Solving Non-uniqueness in Agglomerative Hierarchical Clustering Using Multidendrograms. Journal of Classification. 2008, 25 (1): 43–65. S2CID 434036. arXiv:cs/0608049 . doi:10.1007/s00357-008-9004-x. 
  4. ^ Kaufman, L.; Rousseeuw, P.J. 6. Divisive Analysis (Program DIANA). Finding Groups in Data: An Introduction to Cluster Analysis. Wiley. 2009: 253–279 [1990] [2023-03-06]. ISBN 978-0-470-31748-8. (原始内容存档于2023-03-06). 
  5. ^ Hierarchical Clustering · Clustering.jl. juliastats.org. [2022-02-28]. (原始内容存档于2023-03-05) (英语). 
  6. ^ hclust function - RDocumentation. www.rdocumentation.org. [2022-06-07]. (原始内容存档于2023-03-15) (英语).