数学拓扑学领域中,同伦范畴是处理同伦问题时格外便利的范畴论语言。它的对象是拓扑空间,态射是连续函数的同伦类,这是商范畴的一个例子;由于同伦关系在映射的合成下不变,同伦范畴的定义是明确的。所有拓扑空间构成的同伦范畴通常记为 ;有时也会考虑较小一类的空间,例如紧生成豪斯多夫空间CW复形

两空间在同伦范畴中同构的充要条件是它们同伦等价

为拓扑空间,它们在同伦范畴中的态射集记为 。同伦理论的基本课题之一便是研究 ,例如当 是球面时, 的计算就归结到同伦群的计算。

基点

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在应用上,我们常须考虑空间中的特定一点,称为该空间的基点。指定了基点的拓扑空间称为带基点的空间。严格而言,同伦群(例如基本群)的定义依赖于基点,不同的选择会差一个同构

我们可以考虑带点空间构成的范畴,其对象为   ),态射   为满足   的连续映射。同理,可以定义带点映射之间的同伦   为满足   的同伦。由此得到的商范畴称为带点同伦范畴,常记为  ,态射集记为  

在处理带基点的空间时,空间的积与不交并都要作相应的改变。

同伦理论

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同伦理论中有一些适用于所有空间的一般结果,但随着理论渐深,往往需要考虑更小的一类空间。CW复形适用于大部分的问题,它的好处之一体现于布朗表示定理,缺陷则在于CW复形之间的函数空间不一定是CW复形,针对后者,紧生成豪斯多夫空间更富弹性,它包括了所有CW复形、局部紧空间与第一可数空间(例如度量空间)。

近来同伦理论发展的一个里程碑是空间,这可以说是一种适用于拓扑学的导范畴观念。以模型范畴的方法也可以定义谱,这推广了拓扑空间的情形,但较为抽象。

文献

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  • J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology (1999), The University of Chicago Press. ISBN 0-226-51183-9