单位根
出自复变函数的一个定义
定义 编辑
这方程的复数根 为 次单位根。
单位的 次根有 个:
- 。
本原根 编辑
单位的 次根以乘法构成 阶循环群。它的生成元是 次本原单位根。 次本原单位根是 ,其中 和 互质。 次本原单位根数目为欧拉函数 。 全体i次单位根对普通乘法作成群,即i次单位根群。所有全体i次单位根群在普通乘法下也可作成群,且这是一个无限交换群,这个无限交换群里的每个元素的阶都有限。
例子 编辑
一次单位根有一个: 。
二次单位根有两个: 和 ,只有 是本原根。
其中 是虚数单位;除 外都是本原根。
四次单位根是
其中 和 是本原根。
和式 编辑
当 不小于 时, 次单位根总和为 。这一结果可以用不同的方法证明。一个基本方法是等比级数:
- 。
第二个证法是它们在复平面上构成正多边形的顶点,而从对称性知这多边形的重心在原点。
还有一个证法利用关于方程根与系数的韦达定理,由分圆方程的 项系数为零得出。