严谨 (数学)

数学上，严谨（rigor，mathematical rigor）不同于生活中的严谨，它指数学系统尤指公理系统的完备性和自洽性。

完备性指公理数量不多不少正好可以推理出这门学科的全部结论；自洽性指公理系统内不存在悖论（即既是真又是假的命题）。比如仿射几何加上平行公设就成为欧几里得几何，或者加上第五公设的反命题就成为非欧几何之一，但后两者并不满足完备性要求，只有仿射几何学才是欧几里得几何类中的完备系统。一致性与哥德尔不完备定理并不矛盾，前者断言不存在既真又假的命题，而后者断言存在既不可证明又不可证伪的命题，就好比第五公设之于欧几里得几何，连续统假设之于公理化集合论，选择公理之于策梅洛-弗兰克尔集合论。

数学的严谨

数学的严谨可以应用于数学的证明方法和数学的实践方法

数学证明

数学的严谨经常被认为是数学证明的标准。 其的历史可追溯至希腊时期的数学，特别是欧几里得的《几何原本》。

直到19 世纪，欧几里得的《几何原本》都被视为极其严谨和深刻。然而，在19 世纪末，希尔伯特意识到该著作隐含了某些假设，而这些假设无法从欧几里得的公理中得到证明。

例如：两个圆可以相交于一点，某个点在一个角度内，并且图形可以相互叠加）。

这与数学中的严格证明的理念相反，在严格证明中，所有假设都需要陈述，并且不能隐含任何内容。因此，数学家用公理系统开发了新的基础，以解决《几何原本》中不严谨的地方。（例如希尔伯特公理、伯克霍夫公理、塔斯基公理）。

物理证明

数学严谨对物理学有两个问题：

1. 有一个普遍的问题，有时被称为维格纳之谜：“数学如何普遍适用于自然？”，而一些科学家认为，对于自然的纪录证明了数学适用于物理研究
2. 有一个关于数学结果与关系是否严谨的问题。该问题对量子场论甚为烦人，因为在量子场论中，计算通常会产生无限值，而为解决这些问题，科学家设计了各种不严格的解决方法。

物理学中数学严谨的两个问题都引起了科学哲学的广泛关注。

参考文献

• 参见徐利治的《微积分大意》