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立方半八面体

在几何学中，立方半八面体是一种非凸多面体，属于星形多面体及均匀多面体，也可以归类在非凸均匀多面体，其索引在均匀多面中是U15[1]、温尼尔多面体模型中是W78[2]。立方半八面体外观看起来像所有三角形面都凹进去的截半立方体。[3]:78立方半八面体由6个正方形和4个正六边形组成，是一种十面体，且每个顶点对应的角皆相等，因此也可以被归类为拟正多面体[4]，然而由于这个立体同时具备半多面体的特性，因此被部分学者分成一类新的立体，即拟正半多面体（Versi-Regular Polyhedra），这类立体共有九个，最早在1881年由亚伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）发现并描述[5]。

立方半八面体
立方半八面体
类别均匀星形多面体
对偶多面体立方半无穷星形八面体
识别
名称立方半八面体
参考索引U15, C51, W78
鲍尔斯缩写
（verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）		cho
数学表示法
考克斯特符号
（英语：Coxeter-Dynkin diagram）		label4-3 branch_10ru split2 node_1 
威佐夫符号
（英语：Wythoff symbol）		4/3 4 | 3 （二重复盖）
性质
面10
边24
顶点12
欧拉特征数F=10, E=24, V=12 （χ=-2）
组成与布局
面的种类6个四边形{4}
4个六边形{6}
面的布局
（英语：Face configuration）		6{4}+4{6}
顶点图4.6.4/3.6
对称性
对称群Oh, [4,3], *432
特性
均匀
图像
立体图
4.6.4/3.6
（顶点图）

立方半无穷星形八面体
（对偶多面体）

性质 编辑

立方半八面体共有10个面、24条边和12个顶点[6][7]。在其10个面中有6个正方形面和4个六边形面。这6个正方形面的排列方式与截半立方体的六个正方形面相同[8]:108 。立方半八面体每个顶点都是2个正方形和2个六边形的公共顶点。其中，有一个四边形反向相接，使得其顶点图为交叉四边形，在顶点布局中，可以用4.6.4/3.6来描述。[9][6]

面的组成 编辑

立方半八面体由10个面组成，在其十个面中，有6个正方形面和4个六边形面[10]，其中的4个六边形面互相相交，且皆穿过该立体的几何中心。[11]:57

 

二面角 编辑

八面半八面体二面角为三平方根的倒数之反余弦值[12][13]：

 

顶点座标 编辑

由于立方半八面体凸包为截半立方体，因此其12顶点会与截半立方体相同，为(0, ±1, ±1)、 (±1, 0, ±1), (±1, ±1, 0)，若边长为a，则座标要缩放 倍。[14]

定向性 编辑

立方半八面体的表面是一个不可定向的曲面[6]，即无法定义表面上特定点属于内部或外部，因为任何点都可以在不打洞的情况下经由表面找到一个路径连接该点对应的背面的位置，这个特性与克莱因瓶类似[15]。

相关多面体 编辑

立方半八面体与截半立方体和八面半八面体有着相同的顶点布局（英语：vertex arrangement）与棱布局（英语：edge arrangement）。[14]

 
截半立方体 		 
立方半八面体 		 
八面半八面体

截半四阶六边形镶嵌 编辑

立方半八面体在拓朴上的展开图可以排布在顶点图为4.6.4.6的截半四阶六边形镶嵌上。可对应到截半的四阶六边形镶嵌之半正则地区图上。[10]

 

立方半无穷星形八面体 编辑

立方半无穷星形八面体
 
类别无穷星形多面体
半多面体对偶
对偶多面体立方半八面体
识别
名称立方半无穷星形八面体
参考索引DU15
性质
面12
边24
顶点10
欧拉特征数F=12, E=24, V=10 （χ=-2）
对称性
对称群Oh, [4,3], *432

立方半无穷星形八面体是立方半八面体的对偶多面体，也是九个对偶半多面体之一[16]。其外观难以与八面半无穷星形八面体区别。[17]

多面体  
立方半八面体 		 
八面半八面体
对偶多面体  
立方半无穷星形八面体 		 
八面半无穷星形八面体

从定义上来看，对偶多面体的面会与原始立体的顶点图相同，同时顶点周围之面的排列方式会和原始立体的面之边相同，也就是说对偶多面体的顶点图为原始立体的面[18]。由于立方半无穷星形八面体是立方半八面体的对偶多面体，而立方半八面体的12个顶点皆为4个面的公共顶点，因此立方半无穷星形八面体的面理应具有12个面，每个面由4个边组成[19]。然而立方半八面体有部分面几何中心落在整个立体的几何中心上，因此其对偶多面体的顶点会落在无穷远处，即无穷实射影平面上的点。[20]一般来说，这样的立体无法被具象化[19]。为了具像化这种立体，温尼尔在著作《对偶模型》中将其描述为由无限高的柱体组合构成的立体，在这样的视觉化方式下，立方半八面体外观为由4个无限高的六角柱构成的立体[20]。然而这样的具象化结果会使得其外观与八面半无穷星形八面体的具象化结果相同。[21]

半刻面立方体 编辑

主条目：半刻面立方体

半刻面立方体又称为立方半菱形十二面体，是立方体的一种刻面（英语：Faceting）结果，由6个长方形和6个交叉四边形组成，并具有12个面、24条边和8个顶点，每个顶点都是3个长方形和3个交叉四边形的公共顶点。其长方形面穿过立方体的几何中心，因此其对偶多面体是一个位于实无穷射影平面的几何结构。

 

五个半刻面立方体依照五复合立方体的组成方式形成的复合多面体称为五复合半刻面立方体，或五复合立方半菱形十二面体，其对偶多面体为五复合立方半无穷星形菱形十二面体，为一种位于实无穷射影平面的星形二十面体[22]。

参见 编辑

注释 编辑

参考文献 编辑

  1. ^ Cubohemioctahedron. 密歇根州立大学图书馆. [2016-08-31]. （原始内容存档于2013-06-20）. 
  2. ^ W78 Cubohemioctahedron. colinspics. [2016-08-31]. （原始内容存档于2016-08-31）. 
  3. ^ Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-06]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）. 
  4. ^ George W. Hart. Quasi-Regular Polyhedra. 1996 [2021-09-05]. （原始内容存档于2021-08-30）. 
  5. ^ Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47-172. 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 Uniform Polyhedra 15: Cubohemioctahedron. mathconsult. [2016-08-31]. （原始内容存档于2016-03-27）. 
  7. ^ Cubohemioctahedron. bulatov.org. [2016-08-31]. （原始内容存档于2016-04-01）. 
  8. ^ Pisanski, T. and Servatius, B. Configurations from a Graphical Viewpoint. Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher. Birkhäuser Boston. 2012 [2021-09-06]. ISBN 9780817683634. LCCN 2012944998. （原始内容存档于2021-09-06）. 
  9. ^ Robert Webb. Cubohemioctahedron. software3d.com. [2021-09-06]. （原始内容存档于2020-03-29）. 
  10. ^ 10.0 10.1 The cubohemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-08-02）. 
  11. ^ Barnes, J. Gems of Geometry. SpringerLink: Bücher. Springer Berlin Heidelberg. 2012 [2021-09-06]. ISBN 9783642309649. LCCN 2012946175. （原始内容存档于2021-09-06）. 
  12. ^ Versi-Regular Polyhedra: Cubohemioctahedron. dmccooey.com. [2016-08-31]. （原始内容存档于2016-03-24）. 
  13. ^ Jean Paul Albert Badoureau, Mémoire sur les Figures Isocèles, Journal de l'École polytechnique 49 (1881), 47-172.
  14. ^ 14.0 14.1 Klitzing, Richard. cubohemioctahedron, cho. bendwavy.org. [2021-09-06]. （原始内容存档于2021-01-23）. 
  15. ^ David I. McCooey. Versi-Regular Polyhedra. dmccooey.com. [2021-09-05]. （原始内容存档于2021-07-30）. 
  16. ^ Magnus Wenninger（英语：Magnus J. Wenninger）, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208  (Page 101, Duals of the (nine) hemipolyhedra)
  17. ^ Weisstein, Eric W. (编). Cubohemioctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  18. ^ Weisstein, Eric W. (编). Dual Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  19. ^ 19.0 19.1 Vladimir Bulatov. hexahemioctacron. Polyhedra Collection, bulatov.org. [2021-07-30]. （原始内容存档于2020-02-23）. 
  20. ^ 20.0 20.1 Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 2003 [1983], ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371  (Page 101, Duals of the (nine) hemipolyhedra)
  21. ^ Weisstein, Eric W. (编). Octahemioctacron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  22. ^ Guy's polyhedra pages. Some lost stellations of the icosahedron. steelpillow. 2006年7月11日 [2019年5月31日]. （原始内容存档于2016年3月13日）. 

外部链接 编辑

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