解析数论中,梅滕斯定理指的是三个弗朗茨·梅滕斯在1874年证明的定理,这些定理与质数密度相关。[1]

以下假定指的是所有不超过的质数。

梅滕斯第一定理

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梅滕斯第一定理指的对于任何的 而言,以下式的绝对值不会超过 A083343):

 

梅滕斯第二定理

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梅滕斯第二定理如下:

 

其中 Meissel–Mertens常数A077761);更精确地说,梅滕斯[1]证明了对于任意的 ,以上的公式在极限意义下,其绝对值不会超过下式:

 

证明

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证明梅滕斯第二定理的主要步骤如下:

 

其中最后的等式要求 ,而这可由 得出。

因此我们证明了下式:

 

由于在 时,质数的次方的倒数和收敛之故,这表示说

 

故由分部求和法可推得下式:

 

变号

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在一篇于1983年出版的关于除数函数增长率的文章中,[2]Guy Robin证明了以下在梅滕斯第二定理中出现的差会变号无限多次:

 

此外,以下在梅滕斯第三定理中出现的差也会变号无限多次:

 

Robin的结果类似于李特尔伍德证明的“ 这个差会变号无限多次”的这定理。唯对于梅滕斯第二及第三定理而言,目前尚没有类似于斯奎斯数这样,最小的导致变号的自然数的上界。

与质数定理间的关系

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梅滕斯在他的《两个令人好奇的勒让德公式》(two curious formula of Legendre)这篇论文中论及了这个非病态的公式[1],在这篇文章中出现的第一个公式是梅滕斯第二定理的原型;而同篇文章中出现的第二个公式是梅滕斯第三定理的原型,详情可见该篇文的前面数行。他回忆说这公式出现在勒让德的《数论》(Théorie des nombres)的第三版(出版于1830年,而实际上该公式出现于1808年出版的第二版中),且更加详细的版本为切比雪夫在1851年所证明。[3]应当注意的是,欧拉在1737年就已知该公式的非病态行为。

梅滕斯礼貌性地描述说他的证明是更加精准且确实的。实际上在他之前的任何证明,在现代标准下都是不可接受的:欧拉的计算牵涉到无限(以及无限的双曲对数和无限的对数的对数);勒让德的论证是启发性的;而切比雪夫证明,尽管逻辑上完美,但用到了直到1896年之前都尚未得证、并在后来被称为质数定理的勒让德─高斯猜想。

梅滕斯的证明并未用到在1874时尚未得证的任何猜想,且只用到基本的实分析,而这证明出现在质数定理得证的22年之前;而与之相对地,质数定理仰赖对做为复数域上的函数的黎曼ζ函数的行为的详细分析。

由此来看,梅滕斯的证明在这方面是印象深刻的,事实上,以当今惯用的大O符号表记,其论述如下:

 

而若使用最简单、不带误差项估计的质数定理,可证明下式成立:[4]

 

在1909年,爱德蒙·兰道(Edmund Landau)用他当时可得的最好的质数定理的版本,证明了下式成立:[5]

 

特别地,对任何固定数 而言,这误差项小于 

对已知的最强版本使用简单的分部求和技巧,可将之改进为:

对于一些 而言,有 

类似地,使用分部求和法可证明说质数定理蕴含了 

梅滕斯第三定理

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梅滕斯第三定理如下:

 

其中 欧拉-马斯刻若尼常数。(A001620

筛法的关系

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对于“  )没有小于 的因子的几率”的估计,可由下式给出:

 

这与梅滕斯第三定理密切相关,因为梅滕斯第三定理给出了下式的非病态估计:

 

参考资料

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 F. Mertens. J. reine angew. Math. 78 (1874), 46–62 Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie
  2. ^ Robin, G. Sur l’ordre maximum de la fonction somme des diviseurs. Séminaire Delange–Pisot–Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Progress in Mathematics. 1983, 38: 233–244. 
  3. ^ P.L. Tchebychev. Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers. Mémoires présentés à l'Académie Impériale des Sciences de St-Pétersbourg par divers savants, VI 1851, 141–157
  4. ^ I.3 of: G. Tenenbaum. Introduction to analytic and probabilistic number theory. Translated from the second French edition (1995) by C. B. Thomas. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 46. Cambridge University Press, Cambridge,1995.
  5. ^ Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909, Repr. Chelsea New York 1953, § 55, p. 197-203.

延伸阅读

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外部链接

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