在数学中, 普朗歇尔定理(有时称为 Parseval-Plancherel 恒等式[1] )是调和分析的一个结果,它由米歇尔·普朗歇尔于1910年证明。它指出一个函数的模的平方的积分等于其频谱的模平方的积分。也就是说,如果
是实轴上的函数,且有频谱
,那么
更精确的表述是,如果一个函数同时在 Lp 空间
和
中,那么它的傅里叶变换也在
中,且傅里叶变换是关于
范数的等距映射。这意味着,
上的傅里叶变换可以唯一地扩张为一个
的等距同构 ,后者有时称为普朗歇尔变换。这个等距同构实际上是一个幺正映射。实际上,这使得平方可积函数的傅里叶变换成为可能。
普朗歇尔定理在 n 维欧几里德空间
上仍然有效 。更一般地,该定理对局部紧阿贝尔群也成立。对于满足某些技术上的假定的非交换局部紧群,还有另一个版本的普朗歇尔定理。这是非交换调和分析的主题。
傅里叶变换的幺正性在科学和工程领域通常被称为帕塞瓦尔定理,该定理基于一个用于证明傅里叶级数幺正性的早期结果(但不那么具有一般性)。
借助极化恒等式,我们还可以将普朗歇尔定理用于计算
中两个函数的内积。也就是说,设
和
是两个
中的函数,而
表示普朗歇尔变换,则
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f5d1941fc7916046c91cb2cb4e463825ec2fe7)
若
和
还是
函数,那么还有![{\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da05ab9fb9d43b01cb3877d29489d5c220be6ddd)
和![{\displaystyle ({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f4ce757cfdeda53e0c76b47360381c75d52f9a)
于是有
- ^ Cohen-Tannoudji, Claude; Dupont-Roc, Jacques; Grynberg, Gilbert. Photons and Atoms : Introduction to Quantum Electrodynamics . Wiley. 1997: 11. ISBN 0-471-18433-0.
- Plancherel, Michel, Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1910, 30 (1): 289–335, doi:10.1007/BF03014877 .
- Dixmier, J., Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier Villars, 1969 .
- Yosida, K., Functional Analysis, Springer Verlag, 1968 .