魏爾施特拉斯逼近定理

定理

斯通-魏爾施特拉斯逼近定理(Stone–Weierstrass theorem)有兩個:

第一逼近定理可以推廣至上的有界閉集

證明

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  • 第一逼近定理與第二逼近定理可以互相推導[1][2]
  • 第二逼近定理的證明:

 為周期為 的連續函數,定義 為一三角級數。 首先證明 ,為一個正交函數系:

 

 (因為 )。 故令 ,於是我們可以求出 。 將 代入   的定義式中,有:

 

下面對積分號中的和式S求和,令 ,那麼就有: ,分成正負兩部分求和,可知:

  代回原積分,有 ,這就是f(s)的泊松積分。其中 稱為泊松核。故有:

 

我們要檢驗的的是  時的情況,可以證明:

 

 一致連續性,可以證明,上式在 時,滿足一致收斂的條件,故我們可以用 來一致逼近 

參閱

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參考資料

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  1. ^ 柯朗; 希爾伯特. 数学物理方法. 北京: 科學出版社. 2011: 57–58. ISBN 978-7-03-031361-4. 
  2. ^ 菲赫金哥爾茨. 微积分学教程 3. 路見可, 余家榮, 吳親仁 譯. 北京: 高等教育出版社. 2006: 480–481. ISBN 978-7-04-018305-4.