維數與代數
編輯
霍奇星算子在 k -形式n -k )-形式空間建立了一個對應。一個 k -形式在這個對應下的像稱為這個 k -形式的霍奇對偶 。k -形式空間的維數是
(
n
k
)
,
{\displaystyle {n \choose k},\,}
後一個空間的維數是
(
n
n
−
k
)
,
{\displaystyle {n \choose n-k},\,}
又由二項式係數 的對稱性，這兩個維數事實上相等。兩個具有相同維數的形式空間總同構 ；但不一定有一種自然或典範的方式。但霍奇對偶性利用了向量空間內積和定向，給出了一個特定的同構，因此在代數上這反應了二項式係數的性質。這也在 k -形式空間上誘導了一個內積。「自然」定義意味着這個對偶性關係在理論中可起幾何作用。
第一個有趣的情形是在三維歐幾里得空間 V 。在這種情形，帕斯卡三角形 相關行是
1, 3, 3, 1 霍奇對偶在兩個三維空間之間建立起一個同構，一個是 V 自己，另一個是 V 中兩個向量的楔積 。具體細節參見例子 一節。叉積只是三維的特殊性質，但霍奇對偶在所有維數都有效。
由於一個向量空間上 k 個變量的交錯線性形式空間自然同構於那個向量空間上的 k -向量空間的對偶 ，霍奇對偶也能對這些空間定義。與線性代數的大部分構造一樣，霍奇對偶可以擴張到一個向量叢 。這樣的霍奇對偶特別常見的是在餘切叢的外代數（即流形上的微分形式）上，可用來從外導數 構造余微分 （codifferential ），以及拉普拉斯-德拉姆算子 ，它導致了緊 黎曼流形 上微分形式的霍奇分解 。
k -向量的霍奇星號的正式定義
編輯
一個定向 內積 向量空間 V 上的霍奇星算子 是 V 的外代數 （
Λ
(
V
)
{\displaystyle \Lambda (V)}
k -向量子空間（
Λ
k
(
V
)
{\displaystyle \Lambda ^{k}(V)}
n-k )-向量子空間（
Λ
n
−
k
(
V
)
{\displaystyle \Lambda ^{n-k}(V)}
0
≤
k
≤
n
,
n
=
dim
V
{\displaystyle 0\leq k\leq n,\,n=\dim V}
e
1
,
e
2
,
⋯
,
e
n
{\displaystyle e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}}
⋆
(
e
i
1
∧
e
i
2
∧
⋯
∧
e
i
k
)
=
e
i
k
+
1
∧
e
i
k
+
2
∧
⋯
∧
e
i
n
,
{\displaystyle \star (e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}})=e_{i_{k+1}}\wedge e_{i_{k+2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{n}},}
其中
(
i
1
,
i
2
,
⋯
,
i
n
)
{\displaystyle (i_{1},i_{2},\cdots ,i_{n})}
(
1
,
2
,
…
,
n
)
{\displaystyle (1,2,\dots ,n)}
特別是我們有，
∗
(
e
1
∧
e
2
∧
⋯
∧
e
k
)
=
e
k
+
1
∧
e
k
+
2
∧
⋯
∧
e
n
.
{\displaystyle *(e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k})=e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \dots \wedge e_{n}.}
星算子的指標記法
編輯
使用指標記法，霍奇對偶由縮並 一個 k -形式與 n -維完全反對稱列維-奇維塔張量 的指標得到。這不同於列維-奇維塔符號 有一個額外因子 (det g )½ ，這裏 g 是一個內積（如果 g 不是正定的，比如洛倫茲流形 的切空間，則取行列式的絕對值）。
從而有
(
∗
η
)
i
1
,
i
2
,
…
,
i
n
−
k
=
1
k
!
η
j
1
,
…
,
j
k
|
det
g
|
ϵ
j
1
,
…
,
j
k
,
i
1
,
…
,
i
n
−
k
,
{\displaystyle (*\eta )_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n-k}}={\frac {1}{k!}}\eta ^{j_{1},\ldots ,j_{k}}\,{\sqrt {|\det g|}}\,\epsilon _{j_{1},\ldots ,j_{k},i_{1},\ldots ,i_{n-k}},\,}
這裏 η 是任意一個反對稱 k 階張量。利用在定義列維-奇維塔張量中同一個內積 g 上升和下降指標。當然也可以對任何張量取星號，所得是反對稱的，因為張量的對稱分量在與完全反對稱列維-奇維塔張量縮並時完全抵消了。
星算子一個常見例子是在 n = 3，可以做為 3 維向量與斜對稱矩陣 之間的對應。這不明顯地使用於向量分析 中，例如由兩個向量的楔積 產生叉積 向量。具體地說，對歐幾里得空間 R 3 ，容易發現
∗
d
x
=
d
y
∧
d
z
{\displaystyle *\mathrm {d} x=\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}
和
∗
d
y
=
d
z
∧
d
x
{\displaystyle *\mathrm {d} y=\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x}
以及
∗
d
z
=
d
x
∧
d
y
{\displaystyle *\mathrm {d} z=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
這裏 dx 、dy 與 dz 是 R 3 上的標準正交微分1-形式 。霍奇對偶在此情形顯然對應於三維中的叉積。
當 n = 4 時，霍奇對偶作用在第二外冪（6 維）上是自同態 。它是一個對合 ，從而可以分解為子對偶與反自對偶子空間，在這兩個子空間上的作用分別為 +1 和 -1。
另一個有用的例子是 n = 4 閔可夫斯基時空 ，具有度量符號為 (+,-,-,-,) 與坐標 (t,x,y,z )，對1-形式 有
∗
d
t
=
d
x
∧
d
y
∧
d
z
{\displaystyle *\,\mathrm {d} t=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}
∗
d
x
=
d
t
∧
d
y
∧
d
z
{\displaystyle *\,\mathrm {d} x=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}
∗
d
y
=
−
d
t
∧
d
x
∧
d
z
{\displaystyle *\,\mathrm {d} y=-\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z}
∗
d
z
=
d
t
∧
d
x
∧
d
y
{\displaystyle *\,\mathrm {d} z=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
對2-形式 有
∗
d
t
∧
d
x
=
−
d
y
∧
d
z
{\displaystyle *\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x=-\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}
∗
d
t
∧
d
y
=
d
x
∧
d
z
{\displaystyle *\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z}
∗
d
t
∧
d
z
=
−
d
x
∧
d
y
{\displaystyle *\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z=-\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
∗
d
x
∧
d
y
=
d
t
∧
d
z
{\displaystyle *\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z}
∗
d
x
∧
d
z
=
−
d
t
∧
d
y
{\displaystyle *\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z=-\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y}
∗
d
y
∧
d
z
=
d
t
∧
d
x
{\displaystyle *\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x}
k -向量的內積
編輯
霍奇對偶在 k -向量空間上誘導了一個內積，即在 V 的外代數 上。給定兩個 k -向量
η
{\displaystyle \eta }
ζ
{\displaystyle \zeta }
ζ
∧
∗
η
=
⟨
ζ
,
η
⟩
ω
,
{\displaystyle \zeta \wedge *\eta =\langle \zeta ,\eta \rangle \;\omega ,\,}
這裏 ω 是正規化的體積形式 。可以證明
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
內積 ，它是半雙線性 的，並定義了一個範數 。反之，如果在
Λ
k
(
V
)
{\displaystyle \Lambda ^{k}(V)}
[1]
本質上，V 的正交基元素的楔積組成了 V 的外代數的一個正交基。當霍奇星號擴張到流形上，可以證明體積形式能寫做
ω
=
|
det
g
i
j
|
d
x
1
∧
…
∧
d
x
n
,
{\displaystyle \omega ={\sqrt {|\det g_{ij}|}}\;dx^{1}\wedge \ldots \wedge dx^{n},\,}
其中
g
i
j
{\displaystyle g_{ij}}
度量 。
當作用兩次時霍奇星號定義了一個對偶，不考慮符號的話，所得結果是外代數上一個恆等式。給定 n -維空間 V 上一個 k -向量
η
∈
Λ
k
(
V
)
{\displaystyle \eta \in \Lambda ^{k}(V)}
∗
∗
η
=
(
−
1
)
k
(
n
−
k
)
s
η
,
{\displaystyle **\eta =(-1)^{k(n-k)}s\;\eta ,\,}
這裏 s 與 V 上內積的符號 有關。具體說，s 是內積張量行列式 的符號。例如，如果 n = 4 時，若內積的符號是 (+,-,-，-) 或 (-,+,+,+) 則 s = -1。對普通的歐幾里得空間，符號總是正的，所以 s = +1。在普通向量空間，這一般不是一個問題。當霍奇星號擴張到偽-黎曼流形上時，上面的內積理解為對角形式的度量。
流形上的霍奇星號
編輯
在一個 n -維定向黎曼 或偽黎曼 流形上每一點的切空間 上可以重複如上構造，將得到 k -形式霍奇對偶 ，是一個 n- k 形式。霍奇星號在流形上的微分形式上誘導了一個 L2 -範數 。對
Λ
k
(
M
)
{\displaystyle \Lambda ^{k}(M)}
空間截面
η
{\displaystyle \eta }
ζ
{\displaystyle \zeta }
(
η
,
ζ
)
=
∫
M
η
∧
∗
ζ
.
{\displaystyle (\eta ,\zeta )=\int _{M}\eta \wedge *\zeta .\,}
（截面的集合通常記做
Ω
k
(
M
)
=
Γ
(
Λ
k
(
M
)
)
{\displaystyle \Omega ^{k}(M)=\Gamma (\Lambda ^{k}(M))}
k -形式。）
更一般地，在非定向情形，我們可以定義 k -形式的霍奇星號維一個 (n - k )-偽微分形式 ；即取值於典範線叢 的一個微分形式。
霍奇星號在流形上最重要的應用是用來定義餘微分 δ。令
δ
=
(
−
1
)
n
k
+
n
+
1
∗
d
∗
{\displaystyle \delta =(-1)^{nk+n+1}*d*\,}
這裏 d 是外導數 。對黎曼流形 s = +1 。
d
:
Ω
k
(
M
)
→
Ω
k
+
1
(
M
)
,
{\displaystyle d:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M),\,}
而
δ
:
Ω
k
(
M
)
→
Ω
k
−
1
(
M
)
.
{\displaystyle \delta :\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M).\,}
相比於外導數，餘微分不是外代數上的反導子 。
餘微分在是外微分的伴隨 ：
⟨
δ
ζ
,
η
⟩
=
⟨
ζ
,
d
η
⟩
.
{\displaystyle \langle \delta \zeta ,\eta \rangle =\langle \zeta ,d\eta \rangle .\,}
這個恆等式是因為體積形式 ω 滿足 d ω = 0，從而
∫
M
d
(
ζ
∧
∗
η
)
=
0.
{\displaystyle \int _{M}d(\zeta \wedge *\eta )=0.\,}
拉普拉斯–德拉姆 算子由
Δ
=
δ
d
+
d
δ
{\displaystyle \Delta =\delta d+d\delta }
給出，是霍奇理論 的核心。它有對稱性：
⟨
Δ
ζ
,
η
⟩
=
⟨
ζ
,
Δ
η
⟩
,
{\displaystyle \langle \Delta \zeta ,\eta \rangle =\langle \zeta ,\Delta \eta \rangle ,\,}
以及非負：
⟨
Δ
η
,
η
⟩
≥
0.
{\displaystyle \langle \Delta \eta ,\eta \rangle \geq 0.\,}
霍奇星號將一個調和形式變成調和形式。作為霍奇定理 的一個推論，德拉姆上同調 自然同構於調和 k -形式空間，從而霍奇星號誘導了上同調群之間一個同構
⋆
:
H
Δ
k
(
M
)
→
H
Δ
n
−
k
(
M
)
,
{\displaystyle \star :H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),\,}
通過龐加萊對偶性 ，這給出了 H k (M ) 與它的對偶空間 的一個典範等價。
三維中的導數
編輯
參考文獻
編輯
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation , (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0 . (Provides a basic review of differential geometry in the special case of four-dimensional space-time.)
Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis , (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 . (Provides a detailed exposition starting from basic principles, but does not treat the pseudo-Riemannian case).
David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles , (1981) Addison-Wesley Publishing, New York' ISBN 0-201-10096-7 . (Provides condensed review of non-Riemannian differential geometry in chapter 0). 
