群作用

數學上，對稱群描述物體的所有對稱性。這是通過群作用的概念來形式化的：群的每個元素作為一個對射（或者對稱作用）作用在某個集合上。在這個情況下，群稱為置換群（特別是在群有限或者不是線性空間時）或者轉換群（特別是當這個集合是線性空間而群作為線性轉換作用在集合上時）。一個群G的置換表示是群作為一個集合的置換群的群表示（通常該集合有限），並且可以表述為置換矩陣，一般在有限的情形作此考慮－這和作用在有序的線性空間基上是一樣的。

給定一個等邊三角形，通過把所有頂點映射到另一個頂點，繞三角形中心逆時針 120°旋轉「作用」在這個三角形的頂點的集合上。

定義

若$\mathrm {G}$為一個群而$\mathrm {X}$為一個集合，則$\mathrm {G}$在$\mathrm {X}$上的一個(左) 群作用是一個二元函數

$\mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X}$

(其中$g\in \mathrm {G}$和$x\in \mathrm {X}$的像寫作$g\cdot x$)，滿足如下兩條公理：

1. $(gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)$ 對於所有 $g,h\in \mathrm {G}$ 和 $x\in \mathrm {X}$成立
2. $e\cdot x=x$對於每個$x\in \mathrm {X}$成立 ($e$代表$\mathrm {G}$的單位元素)

從這兩條公理，可以得出對於每個$g\in \mathrm {G}$，映射$x\in \mathrm {X}$到$g\cdot x$的函數是一個對射(單射以$g^{-1}$應付，滿射以$e$應付），從$\mathrm {X}$映射到$\mathrm {X}$。因此，也可以將$\mathrm {G}$在$\mathrm {X}$上的群作用定義為從$\mathrm {G}$到對稱群$S_{X}$的群同態。

若群作用$\mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X}$給定，我們稱「G作用於集合X」或者X是一個G-集合。

完全一樣地，可以定義一個G在X上的右群作用為函數$\mathrm {X} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {X}$，滿足以下公理：

1. $x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h$
2. $x\cdot e=x$

注意左和右作用的區別僅在於象gh這樣的積在x上作用的次序。對於左作用h先作用然後是g，而對於右作用g先作用然後是h。從一個右作用可以構造一個左作用，只要和群上的逆操作複合就可以了。如果r為一右作用，則

$l:G\times M\to M:(g,m)\mapsto r(m,g^{-1})$

是一左作用，因為

$l(gh,m)=r(m,(gh)^{-1})=r(m,h^{-1}g^{-1})=r(r(m,h^{-1}),g^{-1})=r(l(h,m),g^{-1})=l(g,l(h,m))\,$

而

$l(e,m)=r(m,e^{-1})=r(m,e)=m\,$

所以在這裏，我們只考慮左群作用，因為右作用可以相應推理。

群作用的種類

群G作用在集合X上的作用稱為:

遞移性(Transitive)

如果X是一個非空集合，對於每對數對 x,y $\in$ X，則存在一個g$\in$G，使得$g\cdot x=y$，我們就稱此作用為遞移性。

忠實性(Faithful)

如果群G嵌入(embbeding)到X的置換群中，我們就稱此作用為忠實的。換言之，就是則群G到X的置換群之中為單射。

自由性(Free)

如果給定 $g,h\in G$，存在$x\in X$，則有着$g{\cdot }x=h{\cdot }x{\;\;}{\Rightarrow }\;\;\;g=h$，則稱為此作用為自由性。

正則的(Regular)

同時具有自由性以及遞移性的作用稱為正則的，又稱簡單遞移（英語：simply transitive）。

n-遞移性(n-transitive)

如果集合X 至少有 n 個元素, 對所有不同的元素x₁, ..., x_n 和所有不同的y₁, ..., y_n, 存在一個 g 在群G 使得 g⋅x_k = y_k 對所有 1 ≤ k ≤ n ，我們就稱其為n-遞移性。

本原的(Primitive)

如果遞移性作用滿足只有trivial區塊(block)，那我們稱此作用為本原的。可以證明n-遞移性皆為本原的。

軌道與穩定化子

軌道

若$x$是$\mathrm {X}$的一個元素，且群$\mathrm {G}$在$\mathrm {X}$上有着一個作用，那麼$x$的軌道$\mathrm {G} _{x}$就是指以下列方式定義的$\mathrm {X}$的子集：

$\mathrm {G} _{x}=\{g\cdot x|g\in \mathrm {G} \}$

$\mathrm {X}$的兩個軌道，要不彼此相等，要不然其交集就是空集合。這是因為假如兩個軌道$\mathrm {G} _{x}$和$\mathrm {G} _{y}$有一個共通元素$a$，那麼就可以找到兩個$\mathrm {G}$中的元素$m$和$n$，使得$a=m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}$、$a=n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}$，同時有$x=m^{-1}\cdot a=m^{-1}n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}$，反之亦可推出$y=n^{-1}\cdot a=n^{-1}m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}$，而這使得這兩個集合所有的元素都相等。

一個軌道的例子是陪集，假若$\mathrm {H}$是$\mathrm {G}$的一個子集，且定義$\mathrm {G}$中元素的慣常運算規則為$\mathrm {H}$在$\mathrm {G}$上的一個作用，那麼$\mathrm {H}$的陪集$\mathrm {aH}$($a\in \mathrm {G}$)就是$a$的軌道。

不變子集

若S是X的一個子集，群G作用在X上( X 被稱作G-set)，對於群G中的所有元素 g，以及所有S中的元素 x，有着 $g\cdot x\in S$，

則我們會說 S在G的作用下是封閉的，或是說，S在G作用下是不變的

不動點與穩定子群

若$x$是$\mathrm {X}$的一個元素，對於群$\mathrm {G}$中的所有元素$g$而言，都有$g\cdot x=x$，那麼就稱$x$是$\mathrm {G}$-不變的（$\mathrm {G}$-invariant）。

另外若$x$是$\mathrm {X}$的一個元素，則所有使得$g\cdot x=x$的$\mathrm {G}$中的元素$g$構成的集合又稱$\mathrm {G}$對於$x$的穩定子群（stabilizer subgroup of $\mathrm {G}$ with respect to $x$），一般常常將之記作$\mathrm {Gx}$(注意：不要將之與上面軌道的符號混淆)。

$\mathrm {Gx}$是$\mathrm {G}$的一個子群，因為根據定義$e\cdot x=x\in \mathrm {Gx}$，因此$\mathrm {G}$的單位元素$e$屬於$\mathrm {Gx}$，且假若$m\in \mathrm {Gx}$，那麼$m$的反元素$m^{-1}$也是$\mathrm {Gx}$的元素，因為$x=e\cdot x=m^{-1}m\cdot x=m^{-1}\cdot x$。

軌道－穩定點定理與伯恩賽德引理

參見：伯恩賽德引理

考慮一個映射$f:G\cdot x\longrightarrow G/G_{x}$ 可以證明此映射是一個對射的函數，而這個映射的結論就是所謂的 軌道-穩定點定理 $|G\cdot x|=[G:G_{x}]$

而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是伯恩賽德引理，$|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|$

西羅定理

主條目：西羅定理

範例

• 任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定義為 g⋅x = x 對任意g屬於G以及任意x屬於X；換句話說，每個群元素對應 X上的恆等置換。