質數計算函數

小於或等於某數的質數個數

數學中,質數計數函數是一個用來表示小於或等於某個實數x質數的個數的函數,記為

π(n)的最初60個值

歷史

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數論中,質數計數函數的增長率引起了很大的興趣。在18世紀末,高斯勒壤得曾猜想這個函數大約為:

 

也就是

 

這就是質數定理。一個等價的表述,是:

 

其中 對數積分函數。這個定理在1896年由法國數學家雅克·阿達馬比利時數學家德·拉·瓦萊布桑先後獨立給出證明。證明用到了黎曼ζ函數的性質。

目前已知 還有更精確的估計,例如:

 

其中O大O符號。1948年,阿特勒·塞爾伯格保羅·艾狄胥不使用函數或複分析證明了質數定理。

另外一個關於質數計數函數的增長率的猜想,是:

 

π(x)、x / ln x和li(x)

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x π(x) π(x) − x / ln x li(x) − π(x) x / π(x) x / ln x  % Error
10 4 −0.3 2.2 2.500 -7.5%
102 25 3.3 5.1 4.000 13.20%
103 168 23 10 5.952 13.69%
104 1,229 143 17 8.137 11.64%
105 9,592 906 38 10.425 9.45%
106 78,498 6,116 130 12.740 7.79%
107 664,579 44,158 339 15.047 6.64%
108 5,761,455 332,774 754 17.357 5.78%
109 50,847,534 2,592,592 1,701 19.667 5.10%
1010 455,052,511 20,758,029 3,104 21.975 4.56%
1011 4,118,054,813 169,923,159 11,588 24.283 4.13%
1012 37,607,912,018 1,416,705,193 38,263 26.590 3.77%
1013 346,065,536,839 11,992,858,452 108,971 28.896 3.47%
1014 3,204,941,750,802 102,838,308,636 314,890 31.202 3.21%
1015 29,844,570,422,669 891,604,962,452 1,052,619 33.507 2.99%
1016 279,238,341,033,925 7,804,289,844,393 3,214,632 35.812 2.79%
1017 2,623,557,157,654,233 68,883,734,693,281 7,956,589 38.116 2.63%
1018 24,739,954,287,740,860 612,483,070,893,536 21,949,555 40.420 2.48%
1019 234,057,667,276,344,607 5,481,624,169,369,960 99,877,775 42.725 2.34%
1020 2,220,819,602,560,918,840 49,347,193,044,659,701 222,744,644 45.028 2.22%
1021 21,127,269,486,018,731,928 446,579,871,578,168,707 597,394,254 47.332 2.11%
1022 201,467,286,689,315,906,290 4,060,704,006,019,620,994 1,932,355,208 49.636 2.02%
1023 1,925,320,391,606,803,968,923 37,083,513,766,578,631,309 7,250,186,216 51.939 1.93%
1024 18,435,599,767,349,200,867,866 339,996,354,713,708,049,069 17,146,907,278 54.243 1.84%
1025 176,846,309,399,143,769,411,680 3,128,516,637,843,038,351,228 55,160,980,939 56.546 1.77%
1026 1,699,246,750,872,437,141,327,603 28,883,358,936,853,188,823,261 155,891,678,121 58.850 1.70%
1027 16,352,460,426,841,680,446,427,399 267,479,615,610,131,274,163,365 508,666,658,006 61.153 1.64%

計算π(x)的方法

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如果 不太大,一個簡單的計算 的方法就是算出每個質數(比如使用愛拉托散尼篩法)。

一個比較複雜的計算 的方法是勒壤得發現的:給定 ,如果 、  、 ……、  是不同的質數,則小於 且不能被任何一個 整除的整數個數是:

 

(其中 取整函數)。因此這個數等於:

 

其中 是小於或等於 的平方根的質數的個數。

恩斯特·梅塞爾在1870年和1885年發表的一系列文章中,描述並使用了一個計算 的組合方法。設  , …,  是最初 個質數,不大於 且不能整除任何一個 的自然數個數記為 ,那麼:

 

給定一個自然數 ,如果  ,那麼:

 

利用這種方法,梅塞爾計算了 等於5×105、106、107以及108 的值。

1959年,德里克·亨利·勒梅爾推廣並簡化了梅塞爾的方法。對於實數 和自然數  ,定義 為不大於m且正好有k個大於 的質因子的整數個數。更進一步,設定 。那麼:

 

這個和實際上只有有限個非零的項。設 為一個整數,使得 ,並設 。那麼當  ≥ 3時,  。因此:

 

 的計算可以用這種方法來獲得:

 

另一方面, 的計算可以用以下規則來完成:

  1.  
  2.  

利用這種方法,勒梅爾計算了 

其它質數計數函數

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我們也使用其它的質數計數函數,因為它們更方便。其中一個是黎曼的質數計數函數,通常記為 。這個函數在自變量為質數的冪pn時突然增加了1/n,而該點的值則是兩邊的平均值。我們可以用以下公式來定義 

 

其中p是質數。

也可以寫成以下公式:

 

其中Λ(n)是馮·曼戈爾特函數

 

利用默比烏斯反演公式,可得:

 

知道了黎曼ζ函數的對數與馮·曼戈爾特函數 之間的關係,並利用佩龍公式,可得:

 

不等式

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下面是一些有用的π(x)不等式。

 ,左不等式適用於x ≥ 17,右不等式適用於x>1,常數1.25506為  保留5位有效小數, 最大值為x = 113。

Pierre Dusart 在2010年證明:

  (其中 
  (其中 

n個質數pn的不等式:

 

左面的不等式當n ≥ 2時成立,右面的不等式當n ≥ 6時成立,上限由Rosser(1941)提出,下限由Dusrat(1999)提出。

n個質數的一個估計是:

 

參考文獻

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  • Bach, Eric; Shallit, Jeffrey. Algorithmic Number Theory. MIT Press. 1996: volume 1 page 234 section 8.8. ISBN 0-262-02405-5. 
  • Dickson, Leonard Eugene. History of the Theory of Numbers I: Divisibility and Primality. Dover Publications. 2005. ISBN 0-486-44232-2. 
  • Ireland, Kenneth; Rosen, Michael. A Classical Introduction to Modern Number Theory Second edition. Springer. 1998. ISBN 0-387-97329-X. 
  • Hwang H. Cheng Prime Magic conference given at the University of Bordeaux (France) at year 2001 Démarches de la Géométrie et des Nombres de l'Université du Bordeaux
  • Titchmarsh, E. C. The Theory of Functions, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, 1960.