卡茨-穆迪代數

卡茨-穆迪代數是一個李代數,通常無限維,其定義自(Victor Kac所謂的)廣義根系。卡茨-穆迪代數的應用遍及數學理論物理學

定義

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假定以下材料:

  •   ——一個r廣義嘉當矩陣(generalised Cartan matrix)   r.
  •   ———— 一個 2n − r維複向量空間  .
  •   ————  對偶空間
  •   ———— n 枚相互獨立的元,稱為對偶根(co-root)
  •   ———— n 枚線性相互獨立的元 ,稱為(root)
  • 上述各元滿足  .

卡茨-穆迪代數  由符號   ,   (i=1,..,n) 及空間  生成:

以上各元滿足以下關係:

  •  
  •   ;其中  
  •  , 其中 
  •  , 其中  
  •   ;其中  
  •   ;其中 出現   次;
  •   ;其中 出現   次;

(其中  .)

一個 (維數可以無限)李代數亦可稱為 Kac–Moody代數,若其 複化 是個 Kac–Moody代數.

釋義

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  •   是此卡茨-穆迪代數的一嘉當子代數
  • g 是 Kac–Moody 代數的一元,使得
 

其中 ω 是  的一元,

則稱g(weight) ω的. 我們可分解一Kac–Moody 代數成其冪空間,則嘉當子代數  的冪為零,ei的冪為α*i,而fi的冪為−α*i。若二冪特徵向量的李括號非零,則其冪是二冪之和。(若   ) 則   一條件即指 α*i 都是簡單根。

分類

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我們可分解廣義嘉當矩陣 C 成矩陣積 DS, 其中 D 是 正對角矩陣, S 是 對稱矩陣。 然則有三種可能:

S 不可能 負定負半定 因其對角元皆正.

參見

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參考

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