數學領域,詞組「up to xxx」表示為了某種目的同一等價類中的元素視為一體。「xxxx」描述了某種性質或將中元素變為同一等價類中另一個的操作(即將元素和它變為的那個等價)。例如在群論中,我們有一個群G作用在集合X上,在此情形:如果X中兩個元素在同一軌道中,我們可以說它們等價「up to群作用」。

中文中沒有類似對應的詞組,翻譯成中文時,可以斟酌譯為:「不別⋯⋯之異」、「不辨⋯⋯之別」、「在xxx的意義下」、「差一個xxx」等。比如上面可以翻譯為「差一個群作用的意義下等價」。但是,這個翻譯是既迂迴又笨拙,因為數學中「在xxx的意義下」通常是對有數個不等價定義的詞語指定其意義,對應英文「in the sense of」,例如「這個函數在勒貝格的意義下可積,但是在黎曼的意義下不可積」,就對「可積」一詞先後指定兩個不等價的定義;然而,數學中英文短語「up to」的重點不在確定某詞語的定義,而在省略掉一些非本質的次要差異。

舉例

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  • 八皇后問題中,若把八個皇后看做不同的個體,則不同的解有3,709,440個。一般將八個皇后看作完全相同,此時有92(3709440/8!)種不同的解,不考慮皇后間的不同排列組合(所對應的等價關係)。也就是說,我們將單個皇后的位置不同,但所有皇后所佔棋盤位置集相同的解等價起來,並只考慮不同的等價類。
  • 在上述解中,如果同時將可由棋盤旋轉翻轉來互相轉換的解等價起來,則只剩下12個不同的解(等價類)。
  • 群論中,稱G集中同一軌道上的元素up to群作用等價。
  • 群論中,up to群同構,只有兩種不同的四元素群。也就是說,所有四元素群通過群同構僅有兩個不同的等價類。
  • 範疇論中,由泛性質確定的態射如存在多個,則它們之間up to同構相等(又稱本質相等),或者說,由泛性質所確定的態射up to同構唯一
  • 並發理論中,證明進程間的互模擬往往需要構造很大的互模擬關係。而藉助「up to……互模擬」技術,可僅構造已知包含在互模擬關係中的某種「up to……互模擬」關係來簡化證明。

說明

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與「Up to」非常接近的一個詞是(modulo),如整數1和5模4相等。

參見

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