在統計學及機率理論中,離散型均勻分佈是離散型機率分佈,其中有限個數值擁有相同的機率。離散型均勻分佈的另一種說法為「有限個結果,各結果的機率均相同」。
離散型均勻分佈
機率質量函數 ![Discrete uniform probability mass function for n=5](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/DUniform_distribution_PDF.png/325px-DUniform_distribution_PDF.png) n=5 where n=b-a+1 |
累積分佈函數 ![Discrete uniform cumulative mass function for n=5](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/DUniform_distribution_CDF.png/325px-DUniform_distribution_CDF.png) |
參數 |
![{\displaystyle a\in (...,-2,-1,0,1,2,...)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64aaf366195efe4e542cc339a1c873bbe40e7a5b)
![{\displaystyle b\in (...,-2,-1,0,1,2,...)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b4fcf5969f848f66e69d308b89b977d499e733)
![{\displaystyle n=b-a+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37f7c435cbb8585d7847d0f70a6762f59811cb3f) |
---|
值域 |
![{\displaystyle k\in \{a,a+1,...,b-1,b\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b362c6c529f9b9150c10d73b0ff70363b44b93f5) |
---|
機率質量函數 |
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{n}}&{\mbox{for }}a\leq k\leq b\ \\0&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715fbb411ecaab4a69ec3aefc92c151747b113bc) |
---|
累積分佈函數 |
![{\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<a\\{\frac {k-a+1}{n}}&{\mbox{for }}a\leq k\leq b\\1&{\mbox{for }}k>b\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/251cebef62e6c0b04945bfd56c25285e917621b4) |
---|
期望值 |
![{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/624d7fda7043e152affce9651f48c57b5b7d312a) |
---|
中位數 |
![{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/624d7fda7043e152affce9651f48c57b5b7d312a) |
---|
眾數 |
N/A |
---|
變異數 |
![{\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{12}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/380e594b1fd09857b8934a8c3503bf2b12d24faf) |
---|
偏度 |
![{\displaystyle 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4b06f9315849466a0502680377e30a9da8a1b5) |
---|
峰度 |
![{\displaystyle -{\frac {6(n^{2}+1)}{5(n^{2}-1)}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d98fa702583a36ae69e3e46e9e22c7d684f2f0) |
---|
熵 |
![{\displaystyle \ln(n)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/088a1e7ec29ce858570f7df4fab6b66c30ff25a5) |
---|
動差母函數 |
![{\displaystyle {\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^{t})}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7178154884e03f88b2d4255bb883fcdca1350416) |
---|
特徵函數 |
![{\displaystyle {\frac {e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7930277f9ad4811b8ec11f277b37b758f7277b8b) |
---|
像均勻的骰子就是離散型均勻分佈的例子,可能的值為1, 2, 3, 4, 5, 6,而每一個數字的機率都是1/6。但若同時丟二個均勻骰子,將其值相加,就不是離散型均勻分佈了,因為各個和的機率不同。
離散型均勻分佈常用來描述結果為數字的分佈,不過離散型均勻分佈也可以描述結果是有限集合的分佈。例如隨機置換就是由已知長度的置換中均勻隨機產生的組合,而均勻生成樹是由給定的樹中均勻隨機產生的生成樹。
離散型均勻分佈在本質上是非參數(non-parametric)的。不過要表示其值很容易,就用[a,b]之間的所有整數即可,因此a和b就是離散型均勻分佈的主要參數(也常常改為考慮區間[1,n],只保留一個參數n)。若用這種表示法,針對任意k ∈ [a,b]的累積分佈函數(CDF)為
![{\displaystyle F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca39cc71fd41495a748cc207b58ebfac455897d3)
我們將會討論德國坦克問題的例子,將最大值估計應用於二戰期間德國坦克產量的估計。
設k 個觀測值的樣本是從一下整數的均勻分佈中獲得的:
而問題就是估計未知的最大 N。
最大值的均勻最小方差無偏 (UMVU) 估計量為下列式子: 其中 m 是樣本最大值,k 是樣本大小,而且無放回抽樣。 這可被看作為最大間距估計的一個非常簡單的例子。
這個式子也有一個變樣版本:
該式中的標準差被大約表示為 ,也就是樣本之間差距的平均大小,與 作比較。
樣本最大值是總體最大值的最大似然估計,然而,該方法存在偏差。
若樣本沒有編號但可被識別或標記,則可透過捕獲再捕獲方法以估計族群規模。
有關均勻分佈隨機排列的固定點數量的機率分佈的說明,請參閱主條目。