自由黎曼氣體

自由黎曼氣體模型(英語:free Riemann gas model),又名素數子氣體模型(英語:Primon gas model)或素數氣體模型(英語:Prime number gas model[1],是統計物理學量子場論中的一個玩具模型。該模型刻畫了素數理論與一個假想的、無相互作用的量子場理論之間的對應關係;後者的激發態被稱為「素數子」(英語:Primon)。1990年,唐納德•斯佩克特和伯納德•朱利亞兩人彼此獨立地提出了這一模型;隨後,巴卡斯,博威克和斯佩克特進一步研究了該理論與更為複雜的模型(例如弦論)之間的關聯。[2][3][4][5]

模型

編輯

考慮一個無相互作用的全同玻色子構成的量子系統。假設每個粒子有可列多個分立能級:

 ,且:
 是與之對應的湮滅算子。則真空態 和所有粒子態:
  

張成了態空間的一組正交基。令:

 

為全體素數的構成的升序列。則如下的映射:

 

是這組正交基到正整數的雙射,後者由因數分解的唯一性保證。因此,系統的任意粒子態都可以用正整數唯一標記。在數學文獻中,這種標記方法被稱為哥德爾編號[1][2]

能級和正則配分函數

編輯

現在假設單粒子態的能量滿足:

 

滿足上述性質的假想粒子稱為素數子。此時,對於任意一個粒子態 ,其能量 都滿足:

 

該系統在參數為 正則系綜下的配分函數為黎曼函數

 

另一方面,配分函數可以寫成如下的連乘積:

 

即得歐拉乘積公式[1][2]

超素數子

編輯

上述素數子氣體模型可以自然地推廣到超對稱的情形。在超對稱模型中,每個玻色場的湮滅算子都存在一個與之對應的費米場的湮滅算子;令後者為:

 

如此,該模型的粒子態具有如下形式:

   

由於泡利不相容原理,每個費米場此時,每個粒子態可以利用如下定義的兩個正整數標記:

 
 

類似地,任意一個正整數  的任何一個不含平方數因數的因數 構成的數對 唯一決定了該模型中的一個粒子態。其中,粒子態的能量僅由 決定,而其自旋統計性質僅取決於 

注意到如此構建的粒子態恰好為算子 的本徵態:

 

其中函數 滿足:

 ,若 的素因子數目為偶;
 ,若 的素因子數目為奇。

因此 默比烏斯函數[2]

威騰指標與素數定理

編輯

算子 在參數為 的正則系綜中的平均值為威騰指標:

 

由於模型中費米場與玻色場沒有相互作用,求跡運算可以對玻色自由度和費米自由度分別進行:

 
 
 

另一方面,

 

由於超對稱性,算子 在除真空態以外的任意具有確定 的粒子態構成的子空間上的表示矩陣都是無跡的。因而:

 
 

因此通過計算這個超對稱素數子模型的威騰指標,可以得到如下關於默比烏斯函數的恆等式:

 

利用這一公式可推出素數定理[2]

進一步推廣

編輯

量子場論與素數理論的這種關聯可以進一步地抽象為拓撲量子場論K理論的關聯。為實現這一目的,可將素數推廣為素理想

參考文獻

編輯
  1. ^ 1.0 1.1 1.2 André LeClair, Giuseppe Mussardo. Generalized Riemann hypothesis, time series and normal distributions. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2019-02-15, 2019 (2): 023203 [2019-08-07]. ISSN 1742-5468. doi:10.1088/1742-5468/aaf717. [永久失效連結]
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 D. Spector, Supersymmetry and the Möbius Inversion Function, Communications in Mathematical Physics, 1990, (127): 239–252 
  3. ^ Bernard L. Julia, J. M. Luck, P. Moussa, M. Waldschmidt , 編, Statistical theory of numbers, Number Theory and Physics, Springer Proceedings in Physics (Springer-Verlag), 1990, 47: 276–293 
  4. ^ I. Bakas, M.J. Bowick, Curiosities of Arithmetic Gases, J. Math. Phys, 1991, (32): 1881 
  5. ^ D. Spector, Duality, Partial Supersymmetry, and Arithmetic Number Theory, J. Math. Phys, 1998, (39): 1919–1927