杖頭線

杖頭線（Kampyle of Eudoxus）是笛卡兒坐標系方程如下的曲線

x^{4}=a^{2}(x^{2}+y^{2}),

但不包括x = y = 0的解。

另一種表示法編輯

在極座標下，杖頭線的方程如下

r=a\sec ^{2}\theta .

x=a\sec(t),\quad y=a\tan(t)\sec(t).

希臘天文學家及數學家歐多克索斯（c. 408 BC – c.347 BC）有研究此一四次曲線（英語：quartic curve），和求解經典的倍立方問題有關。

杖頭線對X軸及Y軸對稱，和X軸交點為(±a,0)，其拐點在

\left(\pm a{\frac {\sqrt {6}}{2}},\pm a{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)

（四個拐點，每個象限各一個）。曲線上半部在 $x\to \infty$ 時漸近 $x^{2}/a-a/2$ as $x\to \infty$ ，可以寫成

y={\frac {x^{2}}{a}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}={\frac {x^{2}}{a}}-{\frac {a}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\left({\frac {a}{2x}}\right)^{2n},

其中

C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}

是第 $n$ 個卡塔蘭數。

J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications. 1972: 141–142. ISBN 0-486-60288-5.

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