史特芬十四面體

史特芬十四面體是一種彈性多面體,由克勞斯·史特芬德語Klaus Steffen於1978年發現[1][2]:244-247[3]。這種多面體基於布里卡爾八面體但沒有自相交的[4]。這個多面體一共有14個三角形,是最簡單的由非相交面組成的彈性多面體[5]其遵循強風箱猜想(strong bellows conjecture),這意味着其登不變量英語Dehn invariant在形變過程皆保持不變。[6]

史特芬十四面體
史特芬十四面體
可局部活動的史特芬十四面體
類別彈性多面體
對偶多面體(未知)
性質
14
21
頂點9
歐拉特徵數F=14, E=21, V=9 (χ=2)
組成與佈局
面的種類14個三角形
特性
彈性
圖像

展開圖

性質

編輯

史特芬十四面體由14個、21條和9個頂點組成。其6個面又可以分成2個子群:來自布里卡爾八面體的6個三角形組,以及將這些三角形組拼起來的另外兩個三角形。[7]

頂點座標

編輯

史特芬十四面體的頂點座標為:[8]

 
 
 
 

其中  可透過下列方程組得出:[8]

 

   皆是未知數,其可由下列方程組得出:[8]

 

  亦是未知數,分別可由下列兩組方程組得出:[8]

 
 

構成史特芬十四面體的14個三角形分別為              [8]

體積

編輯

根據風箱定理[9]多面體體積必為多項式的根,多項式的系數僅取決於多面體的邊長。由於邊長不會隨着多面體的變形過程改變,因此體積必須保持在多項式的有限個根之一,而不會連續變化[10],因此史特芬十四面體在不同的變化狀態下體積皆保持不變。以上述頂點座標描述的史特芬十四面體為例,雖然其有不少頂點是可變的值,其在所有變化狀態下的體積皆為定值,其值約為200.777立方單位。[8]:6

參見

編輯

參考文獻

編輯
  1. ^ Lijingjiao; et al. Optimizing the Steffen flexible polyhedron (PDF). 2015 [2021-09-09]. (原始內容存檔 (PDF)於2020-02-15). 
  2. ^ Cromwell, P. R. Polyhedra. New York: Cambridge University Press. 1997. ISBN 978-0521664059. 
  3. ^ Mackenzie, Dana. Polyhedra can bend but not breathe. Science (American Association for the Advancement of Science). 1998, 279 (5357): 1637–1637. 
  4. ^ Connelly, Robert, Flexing surfaces, Klarner, David A.英語David A. Klarner (編), The Mathematical Gardner, Springer: 79–89, 1981, ISBN 978-1-4684-6688-1, doi:10.1007/978-1-4684-6686-7_10 .
  5. ^ Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172 
  6. ^ Alexandrov, Victor, The Dehn invariants of the Bricard octahedra, Journal of Geometry, 2010, 99 (1-2): 1–13, MR 2823098, arXiv:0901.2989 , doi:10.1007/s00022-011-0061-7 .
  7. ^ Fuchs, Dmitry; Tabachnikov, Serge, Mathematical Omnibus: Thirty lectures on classic mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society: 354, 2007 [2021-09-09], ISBN 978-0-8218-4316-1, MR 2350979, doi:10.1090/mbk/046, (原始內容存檔於2017-03-03) .
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 Mark McClure. Steffen's polyhedron (PDF). marksmath.org. [2021-09-09]. (原始內容存檔 (PDF)於2021-10-06). 
  9. ^ Gaĭfullin, A. A.; Ignashchenko, L. S., Dehn invariant and scissors congruence of flexible polyhedra, Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, 2018, 302 (Topologiya i Fizika): 143–160, ISBN 5-7846-0147-4, MR 3894642, doi:10.1134/S0371968518030068 
  10. ^ Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172 

外部連結

編輯