數學上,一個李群G的Maurer-Cartan形式是一個特別的微分形式,它包含關於這個李群的結構的基本的無窮小信息。它被埃里·嘉當多次使用,作為他的移動標架法的基本組成。
設
是李群在幺元的切空間(它的李代數)。G可以由左平移作用在自身
,
這個誘導出切叢到自身的一個映射
.
一個左移不變向量場是
的一個截面,使得
∀ ![{\displaystyle h\in G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c938e8bf0bc7fa38baf00c88fa8aa6acf633f823)
Maurer-Cartan形式
是在g值(在g中取值)的G上的1形式,根據公式
作用在向量
上。
若X是G上的左移不變向量場,則
在G為常數。而且,若X和Y都是左移不變,則
![{\displaystyle \omega ([X,Y])=[\omega (X),\omega (Y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea0e70f8608c827cbcebdce1e0d060ed1e24ccc)
其中左邊的括號為向量場的李括號,而右邊的括號為李代數g的李括號。(這可以作為g上的李括號的定義。)這些事實可以用來建立李代數的同構
G上的左移不變向量場
.
根據微分的定義,若X和Y為任意向量場,則
.
實用上,若X和Y為左移不變,則
,
所以
![{\displaystyle d\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc30bf31bf7a1d33e3e7f1dac5b8e557088d7406)
但是左邊只是一個2-形式(其值只和X,Y在一點的取值有關,所以跟X,Y作為場在周圍的變化無關),所以方程不依賴於X和Y是左移不變的條件。所以這個方程對所有向量場X和Y成立。這被稱為Maurer-Cartan方程.
如果G嵌入到GL(n,R),則可以把
的公式顯式的寫成
![{\displaystyle \omega =g^{-1}dg}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f23795c0e72cd167a45912098a331bb643552c1)
若我們在李群G上引入主叢,並把G上的左作用定義為變換函數,則聯絡形式
是平坦的。實際上
![{\displaystyle F=dA+A\wedge A=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/033760d55a94442b4ddb5d5b96a9ef3f9cc5de8b)
和Maurer-Cartan方程完全一致。