蓋爾范德–奈馬克–西格爾構造

數學分支泛函分析中,對於給定的C*-代數 Gelfand–Naimark–Segal 構造(簡稱GNS構造)在一個C*-代數的循環*-表示與該C*-代數上的某類線性泛函(稱為)之間建立了對應關係。這種對應關係是通過根據態來顯式地構造*-表示來建立的。其名稱中的三位數學家分別是伊斯拉埃爾·蓋爾范德馬克·奈馬克英語Mark Naimark歐文·西格爾英語Irving Segal

C*-代數的態與表示

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C*-代數  希爾伯特空間   上的*-表示  *-同態   ,其中   有界算子構成的代數。換句話說,  是將   上的對合映為   上的對合的代數同態

下文提及 *-表示時,將默認討論的是非退化的*-表示。也就是說線性生成空間   稠密子集。注意,若   有單位元,則非退化性蘊含了   的保單位元性質,即    的單位元映射到   上的恆等算子  

C*-代數   上的是範數為 1 的正線性泛函   。若   具有乘法單位元,則此條件等價於  

對於希爾伯特空間   上的C*-代數   的表示   以及   ,如果向量集

 

  中範數稠密,則   分別被稱為是循環向量循環表示。一個不可約表示的任何非零向量都是循環的。然而,一般的循環表示中的非零向量可能不是循環向量。

GNS 構造

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  為C*-代數   在希爾伯特空間   上的*-表示,單位向量   對於   而言是循環向量。那麼   上的一個態。

反過來,通過選擇一種典範的表示,   的每個態都可以被視為如上所述的向量態

定理[1] — 給定C*-代數   上的態   ,必有   在某個希爾伯特空間   上的一個*-表示   以及一個相對   而言循環的單位向量   ,使得  

 

證明
  1. 構造希爾伯特空間  

    定義   上的一個正半定半線性形式如下  

    根據柯西-施瓦茨不等式  中的退化元(也就是說即滿足    )構成了   的一個子空間   。通過C*-代數式的論證,可以證明[2]    的一個左理想(即  左核)。實際上,它是   的核所含的最大的左理想。商空間   可配備內積   而成為內積空間。再利用內積誘導的範數進行完備化便得到被記作   的希爾伯特空間.
  2. 構造表示  
    為定義    上的映射   ,先定義    上的映射。為此對於   ,定義算子   的行為如下:   ,其中   表示商空間中的   所屬的等價類。類似前面對   是左理想的證明,可以證明[3]前述的算子   是有界的,故可以唯一地擴張  上的有界算子。注意希爾伯特空間上算子的伴隨的定義,   顯然是保對合的,至此便證明了它是一個*-同態。
  3. 找出循環單位向量  

      有乘法單位元   ,則顯然   中單位元所在的等價類就是   中相對於   而言的循環向量   。若   沒有乘法單位元,可考慮  漸進單位元英語Approximate identity   。由於正線性泛函有界,   在商空間中的等價類將收斂於某個向量   ,即所要尋找的循環向量。

    根據   上內積的定義,態   顯然可由上述循環表示和循環向量構造而來,於是此定理證畢。

在上述定理的證明中,根據   上的態產生*-表示的方法稱為GNS構造

對於C*-代數   上的一個態,相應的GNS表示本質上由   唯一確定了。下面的定理說明了這一點:

定理[4] —    分別在希爾伯特空間   上的*-表示,相應的循環單位向量分別是   。對於   上給定的態   ,若其滿足   ,則   是幺正等價的*-表示,也就是說存在一幺正算子   使得   該算子具有性質  

GNS構造的重要性

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GNS構造是蓋爾范德-奈馬克定理證明的核心,該定理將C*-代數刻畫為算子代數。一個C*-代數具有足夠多的純態(見下文)來使得相應不可約GNS表示的直和成為忠實的。

全體態對應的GNS表示的直和稱為  萬有表示,其包含有每個循環表示。由於每個*-表示都是循環表示的直和,因此   的每個 *-表示可在萬有表示之副本之和的直和分解中找到。

  是 C*-代數   的萬有表示,則  弱算子拓撲中的閉包稱為  包絡馮諾依曼代數。它可以視為是雙對偶   [需要解釋]

不可約性

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不可約*-表示和態所構成的凸集極點純態)之間的關係也很重要。   上的表示   是不可約的,當且僅當   沒有非平凡的在任一   下不變的閉子空間,這裡所謂平凡的子空間是指  

定理 — 有單位元的C*代數   上的態構成一個弱*-拓撲意義下的緊緻凸集。更普遍的是,(無論C*代數是否有單位元)範數不大於一的正線性泛函構成一緊凸集。

這些結果可由巴拿赫-阿勞格魯定理直接得出。

作為有單位元的交換代數,對於某個緊緻  上的連續函數所構成的C*-代數  里斯-馬爾可夫-角谷表示定理指出,範數不超過一的正泛函可視作   上一個總質量不超過一的博雷爾正測度。根據克林-米爾曼定理英語Krein-Milman theorem,極點態則對應於狄拉克測度

另一方面,   的表示的不可約性等價於其是一維的。因此,為使   對應於測度   的GNS 表示是不可約的,須且僅須   是一極點態。事實上,這對於一般的C*-代數也成立。

定理 —   是C*-代數   在希爾伯特空間   上的*-表示,相應的循環單位向量是   ,相應的態是   。當且僅當   是範數不大於一的正線性泛函所構成之凸集的極點時,表示   是不可約的。

為證明此結果,首先須注意,一個表示是不可約的當且僅當  中心化子(記作   )由單位元的標量倍數構成。

  上任一被   控制的正線性泛函   具有形式 其中   是某個正算子,其在算子序下滿足  。這是拉東-尼科迪姆定理的一個版本。

對於這樣的   ,可以將   寫為如下正線性泛函的和:   。因此   幺正等價於   的一個子表示。這表明當且僅當任何這樣的   都幺正等價於   ,即    的標量倍數,   才是不可約的。於是便證明了該定理。

上文提到的極點態往往被稱為純態,但須注意純態的定義是全體態所構成之凸集的極點。

上述C*-代數的定理可推廣到具有漸進單位元的B*-代數

推廣

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刻畫完全正映射斯坦斯普林擴張定理是GNS構造的一個重要推廣。

歷史

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蓋爾凡德和奈馬克關於蓋爾凡德-奈馬克定理的論文發表於1943年。[5]西格爾意識到了其工作中隱含的構造,並以更明顯的形式呈現出來。

西格爾在其1947年的論文中表明,對於可由希爾伯特空間上的算子代數描述的任何物理系統,考慮 C*-代數的不可約表示就足夠了。在量子理論中,這意味着C*-代數是由可觀測量生成的。正如西格爾所指出的,約翰·馮·諾依曼早先已經證明過這一點,但僅限於非相對論性的薛定諤-海森堡理論的特殊情況。[6]

參見

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參考資料

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  • William Arveson, An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, 1981
  • Kadison, Richard, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191.
  • Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars, 1969.
    English translation: Dixmier, Jacques. C*-algebras. North-Holland. 1982. ISBN 0-444-86391-5. 
  • Thomas Timmermann, An invitation to quantum groups and duality: from Hopf algebras to multiplicative unitaries and beyond, European Mathematical Society, 2008, ISBN 978-3-03719-043-2Appendix 12.1, section: GNS construction (p. 371)
  • Stefan Waldmann: On the representation theory of deformation quantization, In: Deformation Quantization: Proceedings of the Meeting of Theoretical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, May 31-June 2, 2001 (Studies in Generative Grammar) , Gruyter, 2002, ISBN 978-3-11-017247-8, p. 107–134 – section 4. The GNS construction (p. 113)
  • G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily. Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics. World Scientific. 2005. ISBN 981-256-129-3. 

內聯引用

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  1. ^ Kadison, R. V., Theorem 4.5.2, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191
  2. ^ Takesaki, Masamichi. Theory of operator algebras I. 1. Heidelberg Berlin: Springer-Verlag. 1979: 37. ISBN 978-1-4612-6188-9. 
  3. ^ Takesaki, Masamichi. Theory of operator algebras I. 1. Heidelberg Berlin: Springer-Verlag. 1979: 40. ISBN 978-1-4612-6188-9. 
  4. ^ Kadison, R. V., Proposition 4.5.3, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191
  5. ^ I. M. Gelfand, M. A. Naimark. On the imbedding of normed rings into the ring of operators on a Hilbert space. Matematicheskii Sbornik. 1943, 12 (2): 197–217.  (also Google Books, see pp. 3–20)
  6. ^ I. E. Segal. Irreducible representations of operator algebras (PDF). Bull. Am. Math. Soc. 1947, 53 (2): 73–88. doi:10.1090/s0002-9904-1947-08742-5 .