理查德森外推法

數值分析中,理查德森外推法(Richardson extrapolation)用以改善級數序列收斂效率,它是在20世紀前期由英國數學家,物理學家,氣象學家Lewis Fry Richardson提出的。在數值分析領域,Richardson外推法有很多實際應用,如Romberg's method,是在梯形公式的基礎上應用Richardson外推法導出的;還有用於求解常微分方程Bulirsch–Stoer算法

推導

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假定某一函數 可數值近似(離散化)為 ,其中 為步長,

  (1)

其中 為首項階數, 下一項階數, 滿足 

考慮該函數又可以使用同樣的數值近似方法,以步長為 做離散近似

  (2)

如果希望消掉式(1)中的 項,我們可以對以上兩式相減,即(1) (2),其中 

 
 
 
 

或簡記作:

 

 代替了 ,為 的新的數值近似。新近似相比最初形式具有更高階的誤差項,數值精度由此提高,此方法即為理查德森外推法

示例

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應用理查德森方法,改善用於近似微分的中心差分公式

 

則由式(1)可知 ,   代入公式:

 
 

由此,中心差分公式精度由2階變為4階。

參考文獻

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  • Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991.

外部連結

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