正割

正割
性質
奇偶性	偶
定義域	$\left\{x\in \mathbb {R} |x\neq k\pi +{\tfrac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \right\}$ $\left\{x\in \mathbb {R} |x\neq 180^{\circ }k+90^{\circ },\,k\in \mathbb {Z} \right\}$
到達域	$\left|\sec x\right|\geq 1$
周期	$2\pi$ （360°）
特定值
當x=0	1
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性質
漸近線	$x=\left(2k+1\right){\tfrac {\pi }{2}}$ （x=180°k+90°）
根	無實根
臨界點	$k\pi$ （180°k）
不動點	當x軸為弧度時： -2.07393280909121... （-118.827596954637699...°） -4.487669603341... （-257.12452812059255...°） 4.9171859252871... （281.734000600083215...°） 7.72415319239641... （442.5613782368157...°） ... 當x軸為角度時： -90.6321919494646472...° -269.787625875998245...° 89.358798727133722...° 270.212040552238203...°
k是一個整數。

正割（Secant，$\sec$）是三角函數的一種。它的定義域是不含$k\pi +{\tfrac {\pi }{2}}$（或180°k+90°，其中$k$為整數）的整個實數集，值域是絕對值大於等於一的實數。它是周期函數，其最小正周期為$2\pi$（360°）。

正割是三角函數的正函數（正弦、正切、正割、正矢）之一，所以在$2k\pi$（360°k）到$2k\pi +{\frac {\pi }{2}}$（360°k+90°）的區間之間，函數是遞增的，另外正割函數和餘弦函數互為倒數。

在單位圓上，正割函數位於割線上，因此將此函數命名為正割函數。

和其他三角函數一樣，正割函數一樣可以擴展到複數。

符號史

正割的數學符號為$\sec$，出自英文secant。該符號最早由數學家吉拉德·笛沙格在他的著作《三角學》中所用。

定義

直角三角形中

直角三角形，$\angle C$為直角，$\angle A$的角度為 $\theta$， 對於$\angle A$而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

在直角三角形中，一個銳角$\angle A$的正割定義為它的斜邊與鄰邊的比值，也就是：

$\sec \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {b} }}\,\!$

可以發現其定義和餘弦函數互為倒數。

直角坐標系中

設$\alpha$是平面直角坐標系xOy中的一個象限角，$P\left({x,y}\right)$是角的終邊上一點，$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$是P到原點O的距離，則$\alpha$的正割定義為：

$\sec \alpha ={\frac {r}{x}}\,\!$

單位圓定義

單位圓

圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同x軸正半部分得到一個角$\theta$，並與單位圓相交。這個交點的y坐標等於$\sin \theta$。在這個圖形中的三角形確保了這個公式；半徑等於斜邊並有長度1，所以有了$\sec \theta ={\frac {1}{x}}$。單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度並保持斜邊等於1查看無限數目的三角形的一種方式。

對於大於$2\pi$（360°）或小於$-2\pi$（-360°）的角度，簡單的繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下，正割變成了周期為$2\pi$（360°）的周期函數：

$\sec \theta =\sec \left(\theta +2\pi k\right)=\sec \left(\theta +360^{\circ }k\right)$

對於任何角度$\theta$和任何整數$k$。

與其他函數定義

正割函數和餘弦函數互為倒數

即：

$\sec x={\frac {1}{\cos x}}$

級數定義

正割也能使用泰勒級數來定義：

$\sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}+{\frac {50521x^{10}}{3628800}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}}{(2n)!}}x^{2n}.$

其中$E_{n}$為歐拉數。

另外，我們也有

$\sec x=4\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(1-2n)}{(2n\pi -\pi )^{2}-4x^{2}}}=4\pi \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(1+2n)}{(\pi +2n\pi )^{2}-4x^{2}}}.$

微分方程定義

$\sec 'x\ =\sec x\tan x$

$\sec x=\left(\ln \left|\sec x+\tan x\right|\right)'$

指數定義

$\sec \theta ={\frac {2}{e^{{\mathrm {i} }\theta }+e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,$

恆等式

用其它三角函數來表示正割

函數	$\sin$	$\cos$	$\tan$	$\cot$	$\sec$	$\csc$
$\sec \theta$	${1 \over {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${1 \over \cos \theta }$	${\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}$	${{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }} \over \cot \theta }$	$\sec \theta \$	${\csc \theta \over {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$

和差角公式

$\sec(\theta \pm \psi )={\frac {\sec \theta \sec \psi }{1\mp \tan \theta \tan \psi }}$

巴羅的正割積分

艾薩克·巴羅在1670年提出正割的積分

$\int _{0}^{\phi }\sec t\,dt=\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)$

參見

• 正弦
• 餘弦
• 正切
• 餘切
• 餘割
• 三角學
• 三角函數
• 函數
• 正弦波