柯西定理 (群論)

柯西定理是一個在群論裡的定理,以奧古斯丁·路易·柯西的名字來命名。其敘述著若G是一個有限群p是一個可整除GG的元素數目)的質數,則G會有一個p階的元素。亦即,存在一個於G內的x,使得p為讓xp=e的最小非零整數,其中e單位元素

此一定理為拉格朗日定理的部份相反,其敘述著有限群G的每一個子群之階都會整除G的階。柯西定理表示對於每一個G之階的質因數p,總存在一個Gp階之子群-由柯西定理內之元素產生的循環群

證明

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我們對n = |G|使用數學歸納法。考慮G阿貝爾群,以及G不是阿貝爾群的兩個情況。假設G是阿貝爾群。如果G單群,那麼它一定是素數階循環群,因此顯然含有p階的元素。否則存在一個非平凡的正規子群 。如果p能整除|H|,那麼根據歸納假設,H含有一個p階的元素,因此G也含有p階的元素。否則,根據拉格朗日定理p一定能整除指數[G:H],因此根據歸納假設,商群G/H含有一個p階的元素;也就是說,在G中存在一個x,使得(Hx)p = Hxp = H。那麼在H中存在一個元素h1,使得h1xp = 1——G的單位元。容易驗證,對於H中的每一個元素a,都存在H中的一個元素b,使得bp = a,因此在H中存在h2,使得h2 p = h1。所以h2x的階為p,阿貝爾群的情況得證。

假設G不是阿貝爾群,那麼它的中心Z是真子群。如果對於某個非中心元素a(也就是說,a不在Z內),p能整除中心化子CG(a)的階,那麼CG(a)就是一個真子群,因此根據歸納假設,它含有一個p階的元素。否則,根據拉格朗日定理,p一定能整除指數[G:CG(a)],對於所有的非中心a。利用類方程,可知p能整除方程的左端(|G|),因此也能整除右端的所有被加數,除了可能不整除|Z|以外。然而,經過一番計算就可發現,p必須也能整除Z的階,因此根據歸納假設,中心子群含有一個p階的元素,因為它是真子群,所以它的階嚴格小於G的階。證畢。

參考

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  • James McKay. Another proof of Cauchy's group theorem, American Math. Monthly, 66 (1959), pg. 119.

外部連結

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