本質上確界和本質下確界

本質上確界本質下確界的概念與上確界下確界有關,但前者與測度論的關聯性更大,其中通常要涉及不是處處都成立的命題[註 1],而是幾乎處處,也就是說,除了在測度為零的集合以外。

設(X, Σ, μ)為測度空間,並設f : X → R為定義在X上的實函數,它並不一定是可測的。實數a稱為f上確界,如果對於X內的所有x,都有f(x) ≤ a,也就是說,集合

空集。而a稱為本質上確界,如果集合

的測度為零,也就是說,對於X內的幾乎所有x,都有f(x) ≤ a

更加正式地,f本質上確界,ess sup f,定義為:

如果本質上確界的集合不是空集,否則ess sup f = +∞。

類似地,我們也可以定義本質下確界

如果本質下確界的集合不是空集,否則為−∞。

例子

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在實數軸上,考慮勒貝格測度和它對應的σ代數Σ。用以下公式定義f

 

這個函數的上確界(最大值)是5,下確界(最小值)是−4。然而,函數只在集合{1}和{−1}內才取得這些值,它們的測度為零。在所有其它地方,函數的值為2。因此,函數的本質上確界和本質下確界都是2。

作為另外一個例子,考慮以下的函數:

 

其中Q表示有理數。這個函數既沒有上界也沒有下界,所以上確界和下確界分別是∞和−∞。但是,從勒貝格測度的角度來看,有理數集合的測度為零;因此,真正有關的是在這個集合的補集發生的事情,其中函數由arctan x給出。於是,函數的本質上確界是π/2,本質下確界是−π/2。

最後,考慮函數f(x) = x3對於所有的實數x。它的本質上確界是+∞,本質下確界是−∞。

性質

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注釋

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  1. ^ 也就是對集合所有元素都成立的命題