康托爾分布是一種累積分布函數康托爾函數概率分布

康托爾
累積分布函數
Cumulative distribution function for the Cantor distribution
參數
值域 康托爾集
機率質量函數
累積分布函數 康托爾函數
期望值 1/2
中位數 在 [1/3, 2/3] 間的任何數
眾數 n/a
變異數 1/8
偏度 0
峰度 −8/5
動差母函數
特徵函數

該分布即沒有概率密度函數,也沒有概率質量函數,因為雖然其累積分布函數是一個連續函數,但其分布在勒貝格測度意義下既不是絕對連續的,也沒有任何點質量。 因此它既不離散的概率分布,也不是一個絕對連續的概率分布,同時不是這兩個混合的概率分布。相反,它是一個奇異分布的例子。

其累積分布函數是處處連續的,但也幾乎處處水平,所以有時被稱為魔鬼的樓梯,雖然這個用語有更廣泛的意義。

特徵

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康托爾分布的基礎是康托集,本身是多個可數無限集的交:

 

康托爾分布對任何 Ct (t ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }) 中 2t 個包含康托爾分布隨機變量的特定區間,都有獨特的概率 2-t.

通過對稱性很容易看出,具有這樣分布的一個隨機變量 X,其期望值 E(X) = 1/2,且所有 X 的奇數階中心矩都是 0。

方差 var(X) 可由總方差定律英語Law of total variance求得。具體操作如下:對上述集合 C1,如果 X ∈ [0,1/3] 則令 Y = 0,如果 X ∈ [的2/3,1],令 Y = 1。然後有

 

從而我們得到:

 

任意偶數階中心矩的封閉表達式可由:先獲得偶數項累積量[1]頁面存檔備份,存於網際網路檔案館

 

其中 B2n 是 第2伯努利數,然後用該累積量的方程作為矩的表達。

參考文獻

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  • Falconer, K. J. Geometry of Fractal Sets. Cambridge & New York: Cambridge Univ Press. 1985. 
  • Hewitt, E.; Stromberg, K. Real and Abstract Analysis. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. 1965. 
  • Hu, Tian-You; Lau, Ka Sing. Fourier Asymptotics of Cantor Type Measures at Infinity. Proc. A.M.S. 130 (9). 2002: 2711–2717. 
  • Knill, O. Probability Theory & Stochastic Processes. India: Overseas Press. 2006. 
  • Mandelbrot, B. The Fractal Geometry of Nature. San Francisco, CA: WH Freeman & Co. 1982. 
  • Mattilla, P. Geometry of Sets in Euclidean Spaces. San Francisco: Cambridge University Press. 1995. 
  • Saks, Stanislaw. Theory of the Integral. Warsaw: PAN. 1933.  (Reprinted by Dover Publications, Mineola, NY.

外部連結

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