反對稱張量

數學和理論物理學中，若一張量的符號（+/−）隨着指標子集的互換而變化，則稱此向量在指標子集上是反對稱的（或相對於指標子集反對稱）。指標子集一般必須是全協變或全反變的。

例如，

$$T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }=T_{jki\dots }=-T_{kji\dots }=T_{kij\dots }=-T_{ikj\dots }$$

當張量對前三個指標反對稱時成立。

若張量在交換每對指標時符號都變化，就稱此向量是全反對稱的。k階全反對稱協變張量場可稱作微分k-形式，全反對稱反變向量場可稱作k-向量場。

反對稱張量與對稱張量

對指標i、j反對稱的張量A與對指標i、j對稱的張量B的縮並都是0。

對於包含$U_{ijk\dots }$的一般張量U和一對指標i、j，U可分為對稱部分和反對稱部分：

$U_{(ij)k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }+U_{jik\dots })$		（對稱部分）
$U_{[ij]k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })$		（反對稱部分）

其他指標對也可給出類似定義。正如「部分」暗示的，對給定的一對指標，張量是其對稱部分和反對稱部分之和，例如

$$U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }.$$

符號

反對稱可用方括號表示。例如，對任意維的2階協變張量M，

$$M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba}),$$

對3階協變張量T，

$$T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).$$

在任意2維和3維中，都可以寫成

$${\begin{aligned}M_{[ab]}&={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},\\[2pt]T_{[abc]}&={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}.\end{aligned}}$$

其中$\delta _{ab\dots }^{cd\dots }$是廣義克羅內克δ函數，我們使用愛因斯坦求和約定對同類指標求和。

更一般地說，無論維數多少，p個指標上的反對稱都可表為

$$T_{[a_{1}\dots a_{p}]}={\frac {1}{p!}}\delta _{a_{1}\dots a_{p}}^{b_{1}\dots b_{p}}T_{b_{1}\dots b_{p}}.$$

一般說來每個秩為2的張量都能分解為一對對稱張量和一對反對稱張量，如

$$T_{ij}={\frac {1}{2}}(T_{ij}+T_{ji})+{\frac {1}{2}}(T_{ij}-T_{ji}).$$

對秩大於等於3的張量，這種分解一般並不正確，因為它們具有更複雜的對稱性。

例子

全反對稱張量包括：

• 平凡地，所有標量與向量（階為0、1的張量）是全反對稱的（也是全對稱的）。
• 電磁學中的電磁張量$F_{\mu \nu }$。
• 偽黎曼流形上的黎曼體積形式。

另見

• 反對稱矩陣
• 外代數
• 列維-奇維塔符號

• 里奇微積分

• 對稱張量
• 對稱化

參考文獻

• Penrose, Roger. The Road to Reality. Vintage books. 2007. ISBN 978-0-679-77631-4. 
• J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne. Gravitation. W.H. Freeman & Co. 1973: 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0. 

外部連結

• Antisymmetric Tensor – mathworld.wolfram.com